Cтраница 1
Сглаживающий функционал Ма [ z, и ] можно ввести в рассмотрение формально, не связывая его с редукцией исходной вариационной задачи к классической. [1]
Мы рассмотрели возможность построения приближенных регуляризованных решений путем минимизации сглаживающего функционала Ma [ z, и ] с последующим определением параметра а тем или иным способом ( соответственно имеющейся исходной информации) для уравнений Az и, в которых оператор А - непрерывный. [2]
Доказанное позволяет строить регуляризующий оператор непосредственно, минуя вариационную постановку для сглаживающего функционала. Как известно [55], неустойчивость решения уравнений первого рода объясняется тем, что их собственные значения сгущаются к нулю и поэтому обратный оператор становится неограниченным. [3]
В таких случаях приближения к гт также можно находить путем минимизации сглаживающего функционала Ma [ z, и ], но очевидно, при этом не представляется возможным находить цараметр регуляризации а по невязке. [4]
Доказанная выше теорема показывает, что при построении регуляризирующих операторов путем минимизации сглаживающего функционала Ma [ z, и ] параметр регуляризации ее, как функция погрешности правой части 8, определяется неоднозначно. [5]
Решение операторного уравнения ( 5) с приближенной правой частью осуществляется на основе минимизации сглаживающего функционала А. [6]
Эта теорема показывает, что при построении приближенных решений линейных интегральных уравнений первого рода путем минимизации сглаживающего функционала Ма [ z, us ] параметр регуляризации а как функция погрешности правой части б определяется неоднозначно. [7]
В качестве равномерного приближения к функции k ( t) выбиралась функция & аопт ( t), доставляющая минимум сглаживающему функционалу при оптимальном значении параметра регуляризации, которое определялось по разработанной в этих целях методике. Полученное таким образом приближение представляет собой гладкую функцию, несущую минимум характерной информации ( тонкой структуры) и удовлетворяющую уравнению с заданной точностью. Но всегда найдется другая менее гладкая функция, которая также удовлетворяет нашему уравнению с требуемой точностью. Однако получение этой функции может быть оправдано лишь при повышении точности исходных данных, при увеличении информации об искомом решении. Кроме того, полученные методом регуляризации гладкие решения вполне соответствуют реальным физическим, устойчивым объектам. Это несомненное преимущество метода, дающее возможность получать наиболее простую и экономичную структуру при тех же основных показателях качества регулирования, в отличие от классических аналитических методов решения интегрального уравнения Винера - Хопфа, когда решение содержит в себе б-функции и ее производные различных порядков. [8]
Таким образом, функционал Q ( v) представляет собой своего рода гладкую форму функционала ф ( у), в которой сглаживающий функционал является произведением по модам гауссовских функций. Мы уже видели, что для больших г; , ехр ( - v s - v s 2) имеет характер ( 52 ( ks - г) - функции. [9]
Как было показано в § 3, для нахождения приближенного ( регуляризованного) решения уравнения ( 4; 1 3) достаточно найти функцию za ( s) eFj, минимизирующую сглаживающий функционал Ma [ z, u6 ] и соответствующее значение а. [10]
Алгоритм построения приближенного решения уравнения (8.3) по заданной последовательности дп ( х) состоит в том, что выбирается некоторая числовая последовательность ап 7, где 7 - не зависящая от п постоянная, и для каждого ап находится функция 2 / ( ж), реализующая минимальное значение сглаживающего функционала М % [ у дп ] - В § 25 мы обозначали функцию, реализующую минимальное значение сглаживающего функционала через 2 / ( ж), опуская значок ап, хотя, фактически, у зависит от ап. Равенство ап jS означает, что параметр регуляризации ап согласован с точностью 8п задания дп. [11]
Алгоритм построения приближенного решения уравнения (8.3) по заданной последовательности дп ( х) состоит в том, что выбирается некоторая числовая последовательность ап 7, где 7 - не зависящая от п постоянная, и для каждого ап находится функция 2 / ( ж), реализующая минимальное значение сглаживающего функционала М % [ у дп ] - В § 25 мы обозначали функцию, реализующую минимальное значение сглаживающего функционала через 2 / ( ж), опуская значок ап, хотя, фактически, у зависит от ап. Равенство ап jS означает, что параметр регуляризации ап согласован с точностью 8п задания дп. [12]
Функционал (8.7) называется регуляризирующим, а функционал Ma [ y f ] - сглаживающим функционалом. [13]
Проведенные рассмотрения предполагали, что носитель антенного потенциала С задан. В этом случае соответствующее уравнение Эйлера для плотности ц ( Р) является линейным. Эффективность решения конкретных задач во многом зависит от удачного выбора контура С. Процесс выбора можно алгоритмизировать, если при решении задачи минимизации соответствующего сглаживающего функционала считать искомыми как функцию ц ( Р), так и функции, задающие контур С. [14]