Cтраница 1
Вещественный функционал, обладающий свойствами 1) и 3), называется полунормой. [1]
Задача минимизации вещественного функционала, заданного на некотором подмножестве нормированного пространства, поставлена корректно, если она разрешима, имеет единственное решение и к нему сходится в смысле нормы пространства любая минимизирующая последовательность. [2]
Теорема 8.3. Пусть вещественный функционал f ( x), заданный в линейном нормированном пространстве, дифференцируем по Гато и Df ( x, h) - его линейный непрерывный по h дифференциал Гато. [3]
Теорема 8.7. Если конечный вещественный функционал f ( x), заданный на открытом выпуклом множестве U с Е, имеет опорный функционал в каждой точке U, то f ( x) - выпуклый и слабо полунепрерывный снизу на U функционал. [4]
В последующем будут рассматриваться вещественные функционалы, если не будет специально оговариваться обратное. [5]
Определение 10.3. Задача минимизации вещественного функционала, заданного на некотором множестве векторного пространства, поставлена корректно, если она разрешима, имеет единственное решение и к нему сходится в смысле сильной топологии пространства любая минимизирующая последовательность. [6]
В том случае, когда нелинейный вещественный функционал дифференцируем по Гато, имеются простые достаточные условия его выпуклости и слабой полунепрерывности снизу. [7]
В данном параграфе мы в основном будем рассматривать вещественные функционалы, заданные в вещественных рефлексивных банаховых пространствах. Напомним, что в таких пространствах всякий шар слабо компактен. [8]
В данной главе мы изучим вопрос о критических точках и минимуме вещественных функционалов, принимающих конечные значения и заданных в вещественных рефлексивных банаховых пространствах или в пространствах, сопряженных к нормированным сепарабельньш пространствам. Как известно1), характеристическим свойством рефлексивных пространств служит слабая компактность единичного шара. Правда, отдельные предложения будут справедливы и для более широкого класса линейных пространств, о чем будет указано в соответствующих местах. [9]
В § 12 минимизирующие последовательности строятся при помощи метода Ритца в предположении, что вещественный функционал задан в вещественном сепара-бельном нормированном пространстве. Устанавливаются предложения о разрешимости систем Ритца и выясняется основной вопрос о том, когда приближения Ритца образуют минимизирующую последовательность. В последней части параграфа доказаны теоремы о сходимости ( в слабом и сильном смысле) приближений Ритца к точке минимума рассматриваемого функционала. [10]
Пусть x ( t) есть абстрактная функция [ - Т, Т ] - Х, причем X - вещественное пространство. Пусть у Х есть вещественный функционал с единичной нормой. [11]
Необходима дальнейшая разработка вариационных методов расчета параметров антенн как в направлении решения конкретных задач, так и в направлении развития общей теории. В частности, представляет большой интерес построение двух вещественных функционалов, экстремальные значения которых совпадали бы с искомым ( вещественным) параметром ( или с его вещественной или мнимой частью, если он - комплексный), но явились бы решением задачи на максимум и на минимум соответственно. [12]