Cтраница 2
Основная идея метода конечных разностей заключается в том, что в рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного-аргумента, вводится дискретная модель среды, описываемая функциями дискретного аргумента, определенными на конечном множестве точек. Это множество точек называется разностной сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются сеточными функциями. [16]
Уравнения типа (V.9) относят к параболическим и, как и любые уравнения в частных производных, решают методом сеток. В узлах сетки рассматриваются функции дискретного аргумента ( сеточные функции); на сетке производные заменяют отношением конечных разностей. Точность метода зависит от выбора сетки и способа аппроксимации производных. [17]
Исходным пунктом при построении разностной схемы является замена области непрерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество есть область определения функций дискретного аргумента; оно называется разностной сеткой. Соответственно функции дискретного аргумента, определенные на этой сетке, носят название сеточных функций. [18]
При этом в рассматриваемом диффузионном приближении вместо функции дискретного аргумента, какой является заселенность сп1 используется концентрация экситонов с ( z) cn / a3, a3 - объем элементарной ячейки. [19]
При использовании метода конечных разностей ( метода сеток) область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным множеством точек, являющихся узлами сетки, которая наносится на упомянутую область. Таким образом, функции, определяемые в узлах сетки, становятся функциями дискретного аргумента. Что касается производных в дифференциальных уравнениях и в краевых условиях, то они аппроксимируются конечными разностями, в результате чего математическая модель явления приводится к системе алгебраических уравнений. Существуют различные способы конечно-разностной аппроксимации, но чаще всего используют разложение функции в ряд Тэйлора, оставляя в нем конечное число членов и отбрасывая члены, представляющие собой малые величины более высокого порядка. [20]
Наиболее распространенными и эффективными численными методами решения многих математических задач и, в частности, начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений являются так называемые разностные методы, в основе которых лежит рассмотрение конечно-разностной задачи вместо исходной дифференциальной задачи. Последняя представляет собой задачу относительно большого, но конечного числа неизвестных, являющихся значениями функции дискретного аргумента, определенной в точках разбиения отрезка интегрирования. Если значения этой функции близки к значениям точного решения исходной задачи в соответствующих точках, то ее можно рассматривать как приближенное решение исходной задачи. Конечно-разностная задача, соответствующая исходной дифференциальной задаче, называется разностной схемой. [21]
В этих формулах через je ( i) jep ( i A /) обозначен t - й отсчет временного ряда вида ( 4 - 70), каждый период которого содержит т членов. Через a i ( n), az ( n) и аз ( п) обозначены в соответствующем представлении л-е коэффициенты ДПФ, являющиеся функциями дискретного аргумента п, обычно называемого просто частотой, так как при фиксированном Д / он действительно определяет частоту. [22]
Исходным пунктом при построении разностной схемы является замена области непрерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество есть область определения функций дискретного аргумента; оно называется разностной сеткой. Соответственно функции дискретного аргумента, определенные на этой сетке, носят название сеточных функций. [23]
Разностная задача строится с целью нахождения сеточной функции у, определенной на введенной сетке и близкой к решению и соответствующей дифференциальной задачи. Сеточная функция у есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи и - функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. Поэтому возникает вопрос, как судить о степени близости этих функций. [24]
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов ( например, х и t ] заменяется дискретным конечным множеством точек ( узлов), называемых сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются разностными отношениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Начальные и граничные условия также заменяются разностными условиями для сеточной функции. Полученную таким образом разностную краевую задачу называют разностной схемой. [25]
Существо метода конечных разностей состоит в следующем. В рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог. Эта дискретная модель среды описывается функциями дискретного аргумента, которые определены в конечном числе точек на сетке. В итоге дифференциальная задача заменяется ( аппроксимируется) системой разностных уравнений - разностной схемой. [26]
Наиболее разработанным численным методом решения задач газовой динамики является метод конечных разностей. Сущность его заключается в том, что непрерывная среда заменяется дискретной моделью, состоящей из конечного множества ( сетки) точек - узлов. Вместо функций непрерывного аргумента в такой модели вводятся сеточные функции - функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки, а производные функций непрерывного аргумента заменяются ( аппроксимируются) соответствующими разностными отношениями. В итоге вместо дифференциальных уравнений, описывающих непрерывную среду, получают систему разностных алгебраических уравнений, которую дополняют до замкнутости путем соответствующей аппроксимации начальных и краевых условий. Далее при помощи известных методов решения систем алгебраических уравнений находят решение поставленной задачи. [27]
Бесконечно малые величины представляют собой большую неприятность. Что-либо менять уже поздно, но терминология крайне неудачна. С величиной ассоциируется нечто фиксированное, тогда как последовательность ап - это функция дискретного аргумента. [28]
Это отличие связано с тем, что ломаная Эйлера является непрерывной и кусочно дифференцируемой функцией, которую можно подставить в левую часть исходного дифференциального уравнения, в то время как решение разностной схемы есть функция дискретного аргумента, определенная лишь в узлах сетки. Решение исходной задачи определено всюду на отрезке интегрирования, и его значения [ у ] ь в узлах сетки можно подставить в разностную схему (6.4) и, используя информацию о гладкости точного решения исходной задачи, оценить величину невязки разностной схемы на точном решении. [29]
Основная идея метода конечных разностей заключается в том, что в рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного-аргумента, вводится дискретная модель среды, описываемая функциями дискретного аргумента, определенными на конечном множестве точек. Это множество точек называется разностной сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются сеточными функциями. [30]