Функция - распределение - межуровневое расстояние
Cтраница 1
Функция распределения межуровневых расстояний - наиболее полно исследованная характеристика хаотических систем. К сожалению, такой расчет представляется довольно громоздким и выходит за рамки данного вводного курса. [1]
В результате, действительно, функция распределения межуровневых расстояний, полученная в эксперименте, представляет собой суперпозицию двух независимых функций Вигнера ( см. Приложение А. Дело в том, что уровни, относящиеся к различным классам симметрии, не отталкиваются друг от друга. На рис. 3.2 б-ж показаны функции распределения межуровневых расстояний для таких же образцов с удаленной из области одной из вершин одной восьмой части сферы. При переходе от рис. 3.2 б к 3.2 ж радиус сферы увеличивается. В образце с максимальным радиусом удаленной части сферы функция Вигнера практически восстанавливается. [2]
Хотя идеальный прямоугольный биллиард - это интегрируемая система, и его функция распределения межуровневых расстояний должна быть пуассоновской, присутствие антенны делает систему превдоинтегриру-емой. Влияние антенны мало сказывается на спектре низкочастотных колебаний, но с увеличением частоты оно становится все более и более заметным. Последнее хорошо видно из рис. 3.10, где приведены функции распределения расстояний между ближайшими собственными значениями для различных частотных интервалов. Сплошными линиями представлено распределение Ленца-Хааке, причем параметр этого распределения растет практически линейно с частотой, что демонстрирует увеличение влияния антенны. [3]
Поскольку не существует представления, в котором всем трем компонентам момента импульса отвечают действительные матрицы, такая система относится к классу CUE. На рис. 4.1 в представлена функция распределения межуровневых расстояний для этого случая. Видно, что статистика здесь близка к распределению Вигнера для GUE. [4]
Теперь рассмотрим более редкий случай, а именно случай полностью интегрируемой системы, в которой вследствие высокой симметрии блочная матрица гамильтониана (3.1.20) приводится к диагональному виду. В такой ситуации нетрудно найти функцию распределения межуровневых расстояний. [5]
В результате, действительно, функция распределения межуровневых расстояний, полученная в эксперименте, представляет собой суперпозицию двух независимых функций Вигнера ( см. Приложение А. Дело в том, что уровни, относящиеся к различным классам симметрии, не отталкиваются друг от друга. На рис. 3.2 б-ж показаны функции распределения межуровневых расстояний для таких же образцов с удаленной из области одной из вершин одной восьмой части сферы. При переходе от рис. 3.2 б к 3.2 ж радиус сферы увеличивается. В образце с максимальным радиусом удаленной части сферы функция Вигнера практически восстанавливается. [6]
 |
Двухуровневая корреляционная функция Rz ( r для GOE ( а и. [7] |
Можно было бы предположить, что в дальнейшем наши интересы будут сосредоточены в основном на гг-уровневых корреляционных функциях. Для этих функций существуют простые аналитические выражения и, кроме того, они без труда могут быть получены экспериментальным путем или с помощью численного моделирования. Однако, как мы знаем, на практике более популярна другая статистическая характеристика, а именно функция распределения межуровневых расстояний, которая связана сразу со всеми гг-уровневыми корреляционными функциями. Рассмотрим сейчас две другие спектральные характеристики, которые часто используются при анализе спектров и простым образом связаны с двухуровневой корреляционной функцией. [8]
Необходимо отметить, что спектральный анализ должен производиться для групп уровней, задаваемых определенными наборами квантовых чисел. В частности, для того чтобы избежать перекрытия спектров, отвечающих состояниям с различной четностью, большинство микроволновых экспериментов выполнено с несимметричными биллиардами. Поучительно увидеть, что происходит, когда два таких спектра накладываются друг на друга. Функция распределения межуровневых расстояний для прямоугольного образца с размерами 14 х 25 х 40 мм3 представлена на рис. 3.2 а. На первый взгляд может показаться, что в данном случае существуют три плоскости симметрии, однако это не так. [9]
Как мы увидим далее, для систем со смешанным типом фазового пространства, где некоторые его области являются хаотическими, в то время как другие регулярны, распределение меж-уровневых расстояний следует модифицировать. В настоящее время существует множество доказательств того, что предположение Бохига-са - Джаннони-Шмита ( BGS) абсолютно верно. На рис. 3.7 представлены результаты экспериментов с различными физическими системами. В дополнение к уже знакомому нам биллиарду Синая, здесь приведены функции распределения межуровневых расстояний для атома водорода в сильном магнитном поле, спектра возбужденной молекулы NC2, спектра акустических резонансов в кварцевом образце, имеющем форму биллиарда Синая, спектра микроволн в объемной полости неправильной формы и спектра колебаний пластинки, имеющей форму четверти стадиона. Во всех случаях наблюдается прекрасное согласие с распределением Вигнера. Необходимо обратить внимание на то, что лишь первые три из рассмотренных систем являются чисто квантовыми. [10]
Вывод приведенных выше результатов дан, например, в Приложении А. Вероятно, по этой причине при анализе спектров спектральная жесткость используется чаще, чем более или менее эквивалентная ей дисперсия числа уровней. В нижней части рис. 3.15 представлены спектральные жесткости для ядерного ансамбля и для атома водорода, находящегося в сильном магнитном поле. Здесь были использованы те же экспериментальные данные, что и при расчете дисперсии числа уровней. Сравнение кривых непосредственно демонстрирует упомянутый эффект сглаживания. Хорошее согласие между экспериментом и предсказаниями теории случайных матриц наблюдается не только для двух рассмотренных систем. Можно было бы привести графики А3 - статистики и для всех других спектров, функции распределения межуровневых расстояний которых показаны на рис. 3.7. Во всех случаях, относящихся в статистике GOE, включая спектры неквантового происхождения, также наблюдается хорошее согласие с теорией случайных матриц. [11]
Страницы: 1