Cтраница 3
Чтобы понять, как измеряется волатильность, мы изучали развитие цены определенной акции изо дня в день. Было показано, что волатильность может рассматриваться как функция следования ежедневным ценовым изменениям. Нас не интересовало, куда в конце концов, двигалась цена акции - нам было интересно, как она двигалась. [31]
Например, если Q, - упорядочение рациональных чисел, то О получается в результате присоединения к концу ( со, счетного множества экземпляров ( Z, ), по одному для каждого рационального числа. Таким образом, в каждой бесконечной мощности а теория Т имеет 2а неизоморфных моделей. Поначалу с нашей новой теорией удобно работать в языке, - обогащенном символом 0 для обозначения первого элемента и символом S для функции следования. [32]
Цифра, получаемая подстановкой некоторой цифры вместо д: в я 1, называется цифрой, следующей за данной. По этой причине х 1 называется функцией ( знаком функции) следования. Однозначность этого названия является, однако, несколько вводящей в заблуждение, ибо вместо х мы можем писать любую другую букву, употребляемую как цифровая переменная; в системе, где х, у и г все являются цифровыми переменными, каждое из выражений jc 1, у 1, г 1 является знаком функции следования. [33]
Необходимо заметить, что все изложенные выше концепции и результаты базировались ( как правило, в неявной форме) на ряде предположений традиц. ПРФ допускает неограниченное число раз применять его начиная с любого натурального числа, причем на любой стадии этого процесса результат также будет натуральным числом); признание однозначной ( с точностью до изоморфизма) определенности натурального ряда с помощью аксиом Пеано. При всей традиционности такого рода допущений они уязвимы для критики с позиций ультраинтуиционизма ( см. A. S. EXsenine-Volpine, Le programme ultra-intuitionniste des fondements des mathematiques, в кн.: Infinitistic methods, Warsz. Геделя ( 1931), согласно к-рой каждый примитивно-рекурсивный предикат может быть явно выражен в терминах постоянных и переменных натуральных чисел, функций следования, сложения и умножения, предиката равенства и операций узкого классич. ВФ, см. Алгоритм, а также лит. [34]
В неевклидовой топологии для того, чтобы не внести особенностей, для всего многообразия требуется более одной системы координат. Может показаться, что при интегрировании по частям будет трудно переходить от одного участка к другому. Кроме того, в простейшем случае замкнутого пространства - многообразии с топологией трехмерной сферы SW - поверхностный интеграл обращается в нуль. По мере того как область интегрирования расширяется, S &) сначала становится все больше и больше, а затем начинает уменьшаться. Ввиду этого, где бы ни фигурировали импульсы, их можно без труда выразить через тензор кривизны Kij с помощью уравнения ( 19), а компоненты Ки при этом выражаются с помощью уравнения ( 18) только через те величины, которые в самом деле предполагается варьировать, - через функции следования и сдвига. [35]