Функция - шеффер
Cтраница 2
Тогда в силу задачи 7.17 q4 является одной из функций 0, ху, ху, х V у - Последние две функции являются функциями Шеффера, а потому в этих случаях система Ф полна и, тем более, самодвойственно полна. [16]
Исходя из канонических форм, в каждую из систем 3) - 8) следовало бы включить функции х, но х является частным случаем функций Шеффера и Пирса, так как х j х х х х, поэтому в указанные системы функция х не включена. Особенностью систем 5) и 6) является то, что каждая из них состоит только из одной функции. Поэтому системы 1), 3), 4), 7) и 8) обладают избыточностью в том смысле, что одна из функций ( ху или х V У) может быть исключена без потери функциональной полноты системы. [17]
Например, система логических функций, состоящая из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии ( см. Инвертор), является полной. Функция Шеффера также представляет собой полную систему. Шеффера, можно построить сколь угодно сложные логические схемы. [18]
Как видно из функциональных формул, любая сложная алгебраическая функция может быть представлена при помощи трех операций: отрицания, сложения и умножения. Универсальный характер имеют также операции функция Шеффера и операция Пирса, при помощи каждой из них может быть представлена любая другая функция. Однако часто такие замены ведут к увеличению числа логических элементов в схеме. На практике при проектировании схемы управления используют пять-шесть и более логических функций. [19]
Логика как наука о рассуждениях оказывается совершенно необходимой при конструировании устройств, обязанных рассуждать. Функции высказывании допускают техническую интерпретацию моделирование /, Е, например, знание функции Вебба или функции Шеффера позволяет экономить приборы ( минимизировать схему) при синтезе управляющих устройств. [20]
 |
Условное графическое изображение схем для реализации некоторых булевых функций. [21] |
Эта функция равна нулю только в одном случае - при равенстве единице обоих аргументов. Так как значения / 14 представляют собой инверсии значений f ъ то по аналогии с / g функцию Шеффера часто называют операцией И-НЕ. [22]
Система, состоящая из отрицания и дизъюнкции ( или отрицания и конъюнкции), удовлетворяет критерию полноты. В самом деле, свойства 1, 2, 4 не принадлежат функции отрицания, так как она не сохраняет нуля, не сохраняет единицы и не является монотонной, а свойства 3 и 5 не принадлежат дизъюнкции ( и конъюнкции), поскольку эти функции не являются самодвойственными и не линейны. Критерию полноты удовлетворяет также функция Шеффера, ибо она не обладает ни одним из отмеченных пяти свойств. [23]
Система простых логических функций, на основе которой, используя лишь суперпозицию, можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной. Набор функций И, ИЛИ и НЕ является функционально полным. Функционально полными оказываются также функции Шеффера и Пирса. [24]
Они больше относятся к кибернетике или к алгебре логики. В большинстве работ по булевым функциям рассматриваются вопросы представления и классификации функций. В этой же работе он описывает все функции Шеффера от двух переменных над булевой алгеброй В и все многочлены от двух переменных, с помощью которых на алгебре В можно определить кольцо. Доказывается, что все олределенные таким образом кольца изоморфны обычному булеву кольцу, соответствующему алгебре В. [25]
Присоединим к какой-то части входов схемы выходы элементов, реализующих константы ( их можно считать не имеющими входов), а остальные входы отождествим. Получим схему с задержкой v, реализующую функцию от одной переменной, полученную из ф подстановкой констант вместо соответствующих переменных и отождествлением остальных. Тогда сигнал на выходе в момент времени t зависит только от х и не зависит от сигналов на входе схемы в другие моменты времени. Как и при решении предыдущей задачи, будем подавать в момент времени / - v & сигнал х, если k четно, и х, если k нечетно. Тогда на выходах всех элементов схемы либо будет всегда один и тот же сигнал, либо сигнал, совпадающий с тем, который подается на вход в данный момент времени. Доказательство проводится так же, как и в предыдущей задаче. Нужно заметить только, что при подстановке константы в какой-либо аргумент функции Шеффера мы получим либо константу, лаСо отрицание. В результате схема S реализует или константу ( если на ее выходе всегда один и тот же сигнал), либо х, если v четно, либо х, если v нечетно. [26]
Страницы: 1 2