Cтраница 1
Опорные функции множеств U, MQ и М вычисляются непосредственно. [1]
Опорные функции множеств Afo, M и U найти аналитически. [2]
Опорную функцию множества U найти аналитически. [3]
Индикаторная функция и опорная функция множества С сопряжены друг другу, поэтому по теореме одна из этих функций полиэдральна в том и только том случае, когда полиэдральна другая. [4]
Но g ( у) а у есть опорная функция множества аВ, где В - единичный евклидов шар. [5]
Положим / б ( С), тогда / есть опорная функция множества С и эквивалентность условий ( Ь) и ( а) влечет требуемый езультат. [6]
Выступающие точки замкнутого выпуклого множества С будут охарактеризованы в следствии 25.1.3 как градиенты опорной функции множества С. [7]
Положительная однородность по х следует из того, что ( Аи -) есть опорная функция множества Аи, а положительная однородность по и - из условия ( Ь) в определении выпуклого процесса. [8]
Это выполняется, в частности, тогда, когда / является конечным множеством и cl ( dom / г) С для любого i. В последнем случае опорные функции множеств dom ft, являющиеся рецессивными конусами функций ДО4 ( теорема 13.3), совпадают с б ( С), откуда в силу следствия 9.8.3 conv / i 6 / является замкнутым множеством и задается описанной формулой с нижней гранью. [9]
Если / субдифференцируема в точке х, то она мажорирует некоторую аффинную функцию и поэтому является собственной. Множество df ( х) будет пусто тогда и только тогда, когда его опорная функция тождественно равна - оо. Но, согласно предыдущей теореме, опорная функция множества df ( х) есть cl ( / ( л; )), а замыкание выпуклой функции в том и только том случае может тождественно равняться - оо, когда сама эта функция где-то обращается в - оо. [10]
Поляра С является тогда другим выпуклым замкнутым множеством, содержащим начало координат, причем С С. Обратно, калибровочная функция поляры С является опорной функцией множества С. [11]
Нормы, будучи конечными выпуклыми функциями, являются непрерывными функциями ( теорема 10.1), а следовательно, замкнуты. Мы уже знаем, что те соотношения, которые описаны в теореме, определяют взаимно однозначное соответствие между замкнутыми калибровочными функциями k и замкнутыми выпуклыми множествами С, содержащими начало координат. Симметрия k, очевидно, влечет за собой симметрию множества С. Условие, что k - всюду конечная функция, равносильно тому, что С содержит любой вектор, если его умножить на достаточно малое положительное число. Но это в силу следствия 6.4.1 равносильно тому, что 0 6 int С. Если же С - симметричное выпуклое замкнутое ограниченное множество, такое, что 0 6 int С, то опорная функция множества С является всюду конечной, симметричной функцией, неотрицательной всюду, кроме начала координат. Но опорная функция С есть калибровочная функция С, откуда мы получаем, что функция у ( С) является нормой. [12]