Cтраница 1
Мажорантные функции обладают следующим замечательным свойством. [1]
Такие мажорантные функции весьма часто будут нами применяться в дальнейшем. [2]
Мы применим теперь мажорантные функции для доказательства сходимости рядов, представляющих интегралы дифференциального уравнения. [3]
Построим для этих рядов соответствующую мажорантную функцию. [4]
Если правые части уравнений представляют собой функции какого-нибудь частного вида, то и мажорантные функции можно взять также более специального типа. Это обстоятельство позволяет иногда расширить область, в которой интегралы, определяемые по теореме Коши, будут за-т ведомо голоморфны. Замечательный случай такого расширения представляет случай линейных уравнений. Здесь мы рассмотрим лишь случай двух линейных уравнений первого порядка; однако, следует заметить, что результаты, которые мы при этом получим, можно распространить на случай любого числа линейных уравнений. [5]
Для оценки области сходимости F и, следовательно, / представляет интерес построение для данной функции наиболее простых мажорантных функций. [6]
Отсюда следует, что функции W, и Wz голоморфны внутри окружности Clt а согласно общим выводам теории мажорантных функций и и и w2 также голоморфны внутри окружности C-L. Но окружность С1 можно взять сколь угодно близко к окружности С, а потому окончательно имеем следующий важный результат. [7]
Остается доказать сходимость полученных рядов. Для этого мы вводим мажорантные функции особого вида. [8]
Оценить решение неоднородного уравнения ( 8), пользуясь только результатами § 2, невозможно. Однако можно легко построить мажорантную функцию для решения задачи ( 8) и применить затем теорему сравнения. [9]
Здесь речь идет о движении двух тяжелых несжимаемых жидкостей различной плотности, наложенных одна на другую, причем сверху и снизу эти жидкости ограничены горизонтальными плоскостями. Рассматривается безвихревое движение, в котором линия раздела жидкостей обладает некоторым периодом в горизонтальном направлении и перемещается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Действительные и мнимые части этих двух функций определяются в форме бесконечных рядов, сходимость которых доказывается методом мажорантных функций. Уравнения профиля волны автор дает также в виде бесконечного ряда. Решение для бесконечных глубин обеих жидкостей получается как частный случай. [10]