Cтраница 1
Ограниченная гармоническая функция на плоскости постоянна. [1]
Для ограниченных гармонических функций доказанная теорема справедлива и в том случае, когда неравенство ( 21) имеет место во всех граничных точках, за исключением конечного числа. [2]
Теперь мы докажем, что ограниченная гармоническая функция полностью определяется своими значениями на границе области, другими словами: не существует двух ограниченных гармонических функций, принимающих одинаковые значения во всех Р - точ-ках. [3]
Задача Дирихле имеет в классе ограниченных гармонических функций единственное решение, а значит, однозначно разрешима и наша задача построения течения с постоянной завихренностью в областях типа полосы. [4]
Доказать теорему Лиувилля в Ж: ограниченная гармоническая функция постоянна. [5]
Пусть в области G задано семейство равномерно ограниченных гармонических функций. Тогда в любой области G, содержащейся вместе со своей границей внутри О, равномерно ограничены производные всех функций семейства. [6]
Другими словами, если на римановой поверхности существует нетривиальная ограниченная гармоническая функция, то существует также и функция Грина с полюсом в произвольной точке. [7]
Если Г - группа расходящегося типа, то на ЩЦГ) не существует непостоянных ограниченных гармонических функций. [8]
Подобно этому говорят, что риманова поверхность принадлежит классу Онв, если на ней нет ограниченных гармонических функций, отличных от постоянных. [9]
Рассмотренное обобщение теоремы Коши - Римана характеризует замкнутые множества а на плоскости, в окрестности которых существует ограниченная гармоническая функция, для которой хотя бы часть множества а состоит из особых точек. [10]
Теперь мы докажем, что ограниченная гармоническая функция полностью определяется своими значениями на границе области, другими словами: не существует двух ограниченных гармонических функций, принимающих одинаковые значения во всех Р - точ-ках. [11]
Если ш ( Л /) - ограниченная функция, т.е. удовлетворяет условиям ( 177), то и функция u ( M), как мы видели, удовлетворяет этому условию. Таким образом, и ( М) есть ограниченная гармоническая функция, принимающая предельные значения ш ( Л /) во всех точках непрерывности этой функции. [12]
Доказательство этого утверждения элементарно. Совершенно также вещественная часть / 2 ( х) представляет собою ограниченную гармоническую функцию в нижней полуплоскости. [13]
Аналогичная картина имеется и тогда, когда функция / ( О) имеет конечное множество точек разрыва первого рода. Что же касается единственности решения задачи Дирихле ( 202) в классе ограниченных гармонических функций, она была доказана в предыдущем пункте. [14]
В заключение заметим, что задача конформного отображения криволинейной полосы D ( уй ( х) у С у ( х) на прямолинейную полосу Д 0 v h ] с нормировкой / ( оо) оо сводится к задаче Дирихле еще проще. Таким образом, искомую гармоническую функцию v мы знаем на всей границе области D, исключая бесконечные точки х - оо. Можно доказать, что эта обобщенная задача Дирихле имеет и притом единственное решение v в классе ограниченных гармонических функций. [15]