Cтраница 1
Неизмеримые функции ( и множества) устроены весьма неправильно, и ни одна из них не построена в явном виде; можно только теоретически доказать их существование, используя так называемую аксиому выбора. Это говорит о том, что все функции и множества, которые нам могут встретиться, будут измеримы. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые множества измеримы, а функции измеримы и почти везде конечны. [1]
Неизмеримые функции ( и множества) устроены ве. Это говорит о том, что все функции и множества, которые нам могут встретиться, будут измеримы. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые множества измеримы, а функции измеримы и почти везде конечны. [2]
Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на змеримом множестве. [3]
Эта мелочь ужасно раздражает, ибо неизмеримые функции встречаются, пожалуй, еще реже, чем пресловутый снежный человек. Однако настоящий профессионал - будь то солдат, космонавт, гонщик, акробат или проводник в горах - никогда не пренебрегает любой, даже маловероятной возможностью. Аналогично и в математике нельзя исключать логическую возможность, как бы маловероятна она ни была, до тех пор пока не доказано, что она не может встретиться. Поэтому не стоит увиливать от преодоления этой небольшой дополнительной трудности; никто не должен из-за такой мелочи лишать себя характерной для профессионала полной уверенности в своих силах, которая так часто составляет единственное различие между первоклассным и средним специалистами. [4]
Заметим, что все известные доказательства существования неизмеримых функций в теории интеграла на пространстве Ж с обычной мерой Лебега опираются на аксиому выбора. [5]
Читатель, наверное, заметил, что в этих примерах придумать неизмеримую функцию от со, которая отвечала бы какой-нибудь реальной задаче, очень трудно. Такое явление имеет место часто, но не всегда. [6]
Напомним, что приводимые результаты справедливы н для случая, когда ряды содержат и неизмеримые функции; правда, в этом случае нужны дополнительные рассуждения. [7]
Формула (5.13) более удобна при вычислениях, чем (5.11), поскольку В1 - измеримая функция, a Vl ] - неизмеримая функция градиента деформации л4 ( ср. [8]
Итак, наше практическое требование, состоящее в том, что скользящие режимы, и в частности стандартные управления, должны быть эффективными, равносильно их измеримости. На этой стадии заурядный аналитик был бы склонен считать вопрос исчерпанным, так как, по его мнению, неизмеримые функции встречаются довольно редко, если вообще встречаются. Но часто именно практическим требованиям труднее всего удовлетворить, ибо никакие два человека не могут договориться, в чем они должны состоять. Во всяком случае, не каждый сразу согласится, что те управления, которые мы назвали эффективными, действительно заслуживают этого названия. [9]
Этот пример служит полезным уроком еще и в другом отношении. Функция t g ( t) не будет измеримой, несмотря на то что g ( так же как и /) - скалярно пренебрежимая и, следовательно, скалярно измеримая функция. Таким образом, применение непрерывной полунормы к скалярно измеримой функции может дать неизмеримую функцию. [10]
Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f ( x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Более того, до настоящего времени ( 1987) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. [11]