Cтраница 1
Любая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. [1]
Любая обобщенная функция имеет единственную, с точностью до аддитивной постоянной, первообразную. [2]
Любая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. [3]
Свертка любой обобщенной функции f с 6-функцией существует и рд. [4]
Для любой обобщенной функции f ( x) G К существует первообразная / ( т) ( ж) G К произвольного порядка га. [5]
Таким образом, любая обобщенная функция имеет производную. Отсюда следует, что и любая локально интегрируемая функция имеет в смысле определения 20 производную. [6]
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций так, чтобы это произведение опять было обобщенной функцией. Шварцем показано, что такое произведение, которое было бы ассоциативно и коммутативно, определить нельзя. [7]
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций так, чтобы это произведение опять было обобщенной функцией. Шварц показал, что на множестве всех обобщенных функций нельзя определить произведение, которое было бы ассоциативно и коммутативно. [8]
Последнее определение скалярного произведения ( /, ty) имеет смысл для любой обобщенной функции / на О и любой гладкой функции г) с ограниченным носителем, лежащим внутри О. В частности, / может быть обобщенной функцией медленного роста. Однако если мы знаем, что / - обобщенная функция медленного роста, то скалярное произведение ( /, г э) можно определить для более широкого класса функций ф, носители которых не обязательно ограничены. Этот класс состоит из гладких функций, быстро убывающих вместе со всеми своими производными. Последующие параграфы этой главы посвящены более подробному изучению указанного класса. [9]
Поскольку все рассматриваемые функции / ( х) Е К1, то для любой обобщенной функции существуют производные любого порядка. [10]
Следовательно, если / - обобщенная функция медленного роста, то свертка / g существует для любой обобщенной функции g, являющейся производной некоторого порядка / с от быстро убывающей функции. [11]
Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифференцировать любое число раз. [12]
Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечное число раз. [13]
Преимущества обобщенных функций особенно ярко проявляют-ся при их дифференцировании. Так, отпадает необходимость всяких оговорок о существовании производных - любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой. [14]