Cтраница 1
Собственные функции эрмитовых операторов попарно ортогональны. [1]
Совокупность всех собственных функций эрмитового оператора, удовлетворяющих условию (4.68), называется ортонормированной. Такая совокупность обладает следующими важными свойствами. [2]
Покажем, что собственные функции эрмитовых операторов взаимно ортогональны. [3]
Важными свойствами обладают и собственные функции эрмитовых операторов. Рассмотрим случай дискретного спектра собственных значений оператора. [4]
Для решения этих задач привлекаются следующие разделы математики: теория возмущений собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов, теория момента количества движения и метод Ритца, основанный на вариационном принципе для собственных значений. [5]
Это равенство выражает свойство ортогональности системы функций я л, , что снова представляет собой хорошо известную теорему относительно собственных функций эрмитовых операторов. [6]
Собственные функции эрмитового оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Все собственные значения эрмитового оператора действительны. Именно поэтому в квантовой механике оператор, сопоставляемый к. Этим и определяется особая роль эрмитовых операторов в физике. [7]
Важнейшей особенностью эрмитовых операторов, обусловливающих их применение в квантовой механике, наряду с вещественностью собственных значений является полнота системы собственных функций. Это значит, что в случае дискретного спектра по собственным функциям эрмитового оператора может быть разложена любая функция состояния в обобщенный ряд Фурье. В случае непрерывного спектра разложение производится в интеграл Фурье. [8]
Это же, конечно, в точности совпадает с тем, что делается в вариационном методе. То обстоятельство, что в случае линейного пространства J5ft и Eh являются собственными функциями и соответствующими собственными значениями эрмитова оператора Я, позволяет нам привлечь стандартные квантово-механические теоремы для дискретных собственных функций эрмитовых операторов. [9]
Координатное представление ( 27 1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может Зыть определен своими координатами в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов е, е2, ez, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения своих координат - волновых функций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем ( см. § § 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. [10]
Координатное представление ( 27 1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может быть определен своими координатами в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов е, еа, еа, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения своих координат - волновых функций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем ( см. § § 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. [11]
Если этот оператор является к тому же и ограниченным ( т.е. таким, для которого отношение Аг) / г ограничено при любой функции из ф), то он называется самосопряженным. У самосопряженного оператора все собственные значения ограничены. В квантовой механике, особенно при первоначальном ее построении, понятия самосопряженного и эрмитова оператора не различают: при первом знакомстве можно не делать различий между гильбертовыми и конечномерными пространствами. Например, не все собственные функции эрмитовых операторов, определяемые как решения соответствующих уравнений на собственные значения, в общем случае принадлежат гильбертову пространству. Поэтому приходится переходить к некоторым более общим конструкциям, называемым оснащенными гильбертовыми пространствами, в которых системы собственных функций эрмитовых операторов полны. [12]
Если этот оператор является к тому же и ограниченным ( т.е. таким, для которого отношение Аг) / г ограничено при любой функции из ф), то он называется самосопряженным. У самосопряженного оператора все собственные значения ограничены. В квантовой механике, особенно при первоначальном ее построении, понятия самосопряженного и эрмитова оператора не различают: при первом знакомстве можно не делать различий между гильбертовыми и конечномерными пространствами. Например, не все собственные функции эрмитовых операторов, определяемые как решения соответствующих уравнений на собственные значения, в общем случае принадлежат гильбертову пространству. Поэтому приходится переходить к некоторым более общим конструкциям, называемым оснащенными гильбертовыми пространствами, в которых системы собственных функций эрмитовых операторов полны. [13]