Cтраница 1
Собственные функции дискретного спектра обозначим через ип ( х), а собственные значения е - через еп. [1]
Собственные функции дискретного спектра - полиномы Эрмита - образуют полный набор. [2]
Все выведенные в § 3, 4 соотношения, описывающие свойства собственных функций дискретного спектра, без труда могут быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных значений. [3]
Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и непрерывным. Действительно, для собственных функций дискретного спектра интеграл J Ф 2 dq, взятый по всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат Ф 2 достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконечности в нуль. [4]
Спектр собственных значений энергии может быть как дискретным, так и непрерывным. Действительно, для собственных функций дискретного спектра интеграл f Ф 2 dq, взятый по всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат Ф 2 достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконечности в нуль. [5]
Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спектром. Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функциям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. [6]
Правило нормировки ( 10 5) собственных функций операторов с непрерывным спектром носит название нормировки на дельта-функцию. Формула ( 10 5) заменяет в этом случае условие ортонормировки ( 9 5) собственных функций дискретного спектра. [7]
Правило нормировки ( 10 5) собственных функций операго рев с непрерывным спектром носит название нормировки на дельта-функцию. Формула ( 10 5) заменяет в этом случае условие ортонормировки ( 9 5) собственных функций дискретного спектра. [8]
Так же, как это было сделано выше, нетрудно показать, что любая собственная функция непрерывного спектра ортогональна любой собственной функции дискретного спектра, если таковой имеется. Чтобы показать, что собственные функции непрерывного спектра нормированы и взаимно ортогональны, можно во избежание некоторых трудностей со сходимостью вместо самих собственных функций р ( х, у, z, а) использовать так называемые собственные дифференциалы) AV ( х, У, z, a) da, где Да - очень малый интервал ( а, а Да) непрерывного спектра. Такая замена имеет физический смысл. Она соответствует аналогичной процедуре в классической теории волн, когда вместо плоской монохроматической волны, являющейся лишь абстракцией, используется группа волн, образованных путем суперпозиции волн с очень близкими частотами. [9]
В § 3 было показано, что пси-функция определяется с точностью до произвольного комплексного множителя. В случае дискретного спектра этот множитель всегда можно выбрать так, чтобы квадрат каждой из функций i) ft был равен единице. В дальнейшем мы будем предполагать, что собственные функции дискретного спектра нормированы на единицу. [10]