Cтраница 1
Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области D. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей S / ( / ф 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка К 1 является полюсом резольвенты. [1]
Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области D. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей S / ( / Ф 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка А, 1 является полюсом резольвенты. [2]
В случае же задачи 1 - ( полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11 следует воспользоваться соображениями, изложенными в § 2 гл. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. [3]
В случае же задачи I - ( полагая, что собственные функции союзного уравнения уже найдены и условие существования решения при заданном краевом условии проверено) и задачи 11 следует воспользоваться соображениями, изложенными в § 2 гл. Первый прием заключается в том, что ряд (2.18) надо рассматривать в асимптотическом смысле, отказавшись от выполнения сколь угодно большого числа итераций при фиксированной дискретизации поверхности. [4]
Непосредственная реализация общепринятой схемы, позволяющая установить условия разрешимости уравнения Фредгольма ( построение собственной функции союзного уравнения и проверка условия ее ортогональности правой части), представляется в данном случае затруднительной. [5]
В этом случае правая часть этого уравнения имеет весьма сложную структуру ( в силу чего условия самоуравновешенности внешних сил явно не просматриваются) и, кроме того, оказываются неизвестными собственные функции союзного уравнения. [6]
Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [7]
Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последовательных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Устранить вызванную этим явлением неустойчивость ( вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. Переход за счет тех или иных слагаемых к уравнениям, не расположенным на спектре и эквивалентным исходным, при условии (2.10) может осуществляться с помощью других искусственных приемов. [8]
Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последова-тельных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Дело в том, что погрешность реализации ( погрешность квадратурных формул), как правило, ведет к нарушению условия (2.25) и дополнительных условий ( 2.250 - Устранить вызванную этим явлением неустойчивость ( вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Тогда надо просто перейти к уравнению (2.24) и решать его, не пренебрегая малыми добавками, которые будут вноситься слагаемыми Ф ( лг) ф / () Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. [9]
Здесь использование представления смещений в виде потенциала двойного слоя сразу приводит к ограничению на поведение решения в бесконечности ( и ( р) c / R2), хотя по постановке задачи такое ограничение и не требуется. Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [10]