Cтраница 1
Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами. [1]
График дробной броуновской функции - это фрактал размерности 4 - Н, причем многие из его сечений меньшей размерности представляют собой следующие хорошо нам известные фрактальные множества. [2]
Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем: а) вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую, б) отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода 2тг ( скажем, 0 t t) и в) прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При Н - 1 значение t должно стремиться к нулю. [3]
Ее координатные функции - независимые дробные броуновские функции с показателем Н 0 9000, которым и обусловлено возникновение на Ниле эффекта Иосифа. Того обстоятельства, что Н близок к 1, оказывается недостаточно для предотвращения самопересечений, однако оно весьма осложняет им существование, побуждая тренд кривой к персистент-ности в любом направлении, какое он уже избрал. Представляя сложные кривые как наложения друг на друга больших, средних и малых сверток, можно сказать, что в случае высокой персистентности и близости размерности к единице малые свертки едва различимы. [4]
Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд В н ( t) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции BH ( t) и повторением получить периодическую функцию. [5]
Мое утверждение о том, что с помощью должным образом выбранных дробных броуновских функций можно достаточно правдоподобно моделировать земной рельеф, основывалось первоначально на вот этих четырех моделях береговых линий. Руководствуясь исключительно сентиментальными соображениями, я перенес их ( вместе с рис. 375) сюда из французского эссе 1975 г. почти без изменений, разве что черные области закрашены теперь более аккуратно, благодаря чему оказалось возможным передать исходное построение более точно. [6]
На каждом из рисунков этой страницы представлены по две-три линии уровня ( береговые линии показаны жирными линиями) для дробных броуновских функций. Тщательно рассмотрев оба рисунка, можно убедиться, что с географической точки зрения они выглядят вполне правдоподобно: верхний сойдет за побережье горного озера, нижний же соответствует более равнинной местности. [7]
Взглянем на высказанные ранее утверждения в более широкой перспективе, для чего рассмотрим сначала простой, одномерный случай - дробную броуновскую функцию Вц ( х) из прямой в прямую. [8]
Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд В н ( t) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции BH ( t) и повторением получить периодическую функцию. [9]
В качестве альтернативного примера можно привести пыль Ле-ви: в [253] показано, что спектр dL ( х) ( здесь L ( х) - лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса-Вейерштрасса. [10]
В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр Н сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка Н - - У2 У2 броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок Н - У2 не может превышать У2, поэтому функция BH ( t) не является дифференцируемой. [11]
Здесь, однако, не приводится явного алгоритма для построения результирующей функции. Для того, чтобы заполнить этот пробел, я обобщил в [379] построение Чен-цова, заменив каждую функцию В ( и, в, dff) двусторонне определенной дробной броуновской функцией из прямой в прямую. [12]