Специальная функция - математическая физика
Cтраница 1
Специальные функции математической физики - классические ортогональные полиномы, сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции - обычно возникают при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Они удовлетворяют некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Теория этих функций, зародившаяся в работах Эйлера, Гаусса, Лапласа, Якоби, Римана и Чебышева, давно превратилась в классический раздел математики, глубоко проникающий в анализ, теорию функций комплексной переменной, теоретическую и математическую физику, теорию представлений групп, и имеет широкие практические приложения. Специальные функции математической физики детально изучены. Для многих из них составлены подробные таблицы, разработаны эффективные алгоритмы вычислений на ЭВМ. [1]
Многие специальные функции математической физики и прочих прикладных наук задаются интегральными представлениями по одной и той же схеме. Имеется гладкое локально тривиальное расслоение Е - Т, и на пространстве этого расслоения имеется дифференциальная форма ш, которая замкнута вдоль слоев, но не замкнута на всем пространстве. Кроме того, задана отмеченная точка bo Е Т и в слое над этой точкой фиксирован класс гомологии той же размерности, что и форма. Тогда на базе возникает функция, которая строится следующим образом. [2]
 |
Зональные колебания окружности. [3] |
Большинство так называемых специальных функций математической физики возникает в задаче о колебаниях тел с той или иной симметрией в пространстве какой-либо размерности. [4]
Самыми простыми среди отмеченных обобщений специальных функций математической физики являются классические ортогональные полиномы дискретной переменной - разностные аналоги классических ортогональных полиномов. [5]
Свойства некоторых математических функций, а также специальных функций математической физики подробнее рассмотрены в приложении в конце книги. [6]
Необходимо также знание теории функций комплексного переменного и специальных функций математической физики. В некоторых местах после краткого введения использованы идеи теории поля ( в основном диаграммы Фейнмана), и читатель должен или понять о чем идет речь, или обратиться к цитируемой литературе. Подобным образом желательно более детальное рассмотрение групп Ли SU ( 2) и SU ( 3), чем то, которое имеется в данной книге. [7]
Классические ортогональные полиномы-полиномы Якоба, Лагерра а Эрмита - образуют самый простой класс специальных функций математической физики. Они находят широкое применение в теоретической и математической физике, квантовой механике, теории представлений групп, в вычислительной математике и технике. [8]
Он сходится для всех д; 1 и расходится при л - 1, за исключением того случая, когда ряд обрывается после конечного числа членов. Почти все специальные функции математической физики, за исключением гамма-функции, находятся в определенном отношении к гипергеометрическому ряду, который охватывает широкий класс функций. [9]
Он сходится для всех х [ 1 и расходится при х 1, за исключением того случая, когда ряд обрывается после конечного числа членов. Почти все специальные функции математической физики, за исключением гамма-функции, находятся в определенном отношении к гипергеометрическому ряду, который охватывает широкий класс функций. [10]
В первой главе рассмотрены методы и алгоритмы отделения и уточнения корней трансцендентных уравнений с параметрами. В качестве примеров используются уравнения, содержащие специальные функции математической физики, среди которых функции Бесселя, эллиптические интегралы, логарифмическая производная - у-функции, интегралы Френеля, интеграл вероятности. Подпрограммы вычисления этих функций можно использовать как самостоятельные отдельно от подпрограмм методов решения уравнений. В первой главе показан способ реализации вычислений с комплексными переменными на разных языках программирования. [11]
Авторам предлагаемой книги удалось найти удобный для изучения способ изложения теории специальных функций, опирающийся на обобщение известной формулы Родрига для классических ортогональных полиномов. Такой подход позволяет получить в явном виде интегральные представления для всех специальных функций математической физики и вывести основные свойства этих функций. В частности, с помощью предложенного метода можно найти решения тех линейных дифференциальных уравнений второго порядка, Которые обычно решаются методом Лапласа. [12]
Теория классических ортогональных полиномов излагается в гл. Эти полиномы являются наиболее простыми специальными функциями. В то же время, опираясь на формулу Редрига для классических ортогональных полиномов, легко прийти к инте-1 тральным представлениям для других специальных функций математической физики, например для функций Бесселя ( гл. [13]
Специальные функции математической физики - классические ортогональные полиномы, сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции - обычно возникают при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Они удовлетворяют некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с полиномиальными коэффициентами. Теория этих функций, зародившаяся в работах Эйлера, Гаусса, Лапласа, Якоби, Римана и Чебышева, давно превратилась в классический раздел математики, глубоко проникающий в анализ, теорию функций комплексной переменной, теоретическую и математическую физику, теорию представлений групп, и имеет широкие практические приложения. Специальные функции математической физики детально изучены. Для многих из них составлены подробные таблицы, разработаны эффективные алгоритмы вычислений на ЭВМ. [14]
Страницы: 1