Cтраница 2
Это уравнение показывает, ч го эволюция во времени одно-частичной функции распределения Р ( и зависит от двухчастичной функции распределения РА. [16]
В дополнение к одночастичной функции распределения Р ( или ее пределу Р1) стоит сказать несколько слов о двухчастичной функции распределения Р, определяемой как плотность вероятности того, что скорости двух случайно выбранных молекул заключены в интервалах j и § 1 Si и & и § 2 § 2 соответственно, а координаты - в интервалах Xi и xi rfxi и х2 и х2 d 2 соответственно независимо от положений и скоростей остальных N - 2 молекул. Это означает, что надо просуммировать PN по всем возможным положениям и скоростям всех молекул, кроме двух выбранных. [17]
Аналогично трехчастичная функция распределения - з (, ( z, qa) при удалении на бесконечность одной из частиц стремится к двухчастичной функции распределения оставшихся двух частиц. [18]
В частности, если имеется п сортов молекул, то будет существовать п разных одночастичных функций распределения и п ( п - 1) / 2 двухчастичных функций распределения. [19]
Из этого уравнения ясно, что вид кинетического уравнения - уравнения для одночастичной функции - в той мере, в которой он отражает наличие взаимодействия между частицами, определяется двухчастичной функцией распределения. Поэтому, очевидно, что для построения вывода кинетических уравнений следует изучать двухчастичные функции, для чего следует иметь уравнения, которым такие функции подчиняются. [20]
В дальнейшем мы покажем, что и такие важные для газодинамики величины, как тензор вязких сил, поток тепла и др., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. [21]
Отсюда же следует, что среднее значение произведения чисел частиц в двух элементах dt и iT2 совпадает с вероятностью одновременного нахождения в каждом из них по одной частице. Для заданной пары частиц это есть, по определению двухчастичной функции распределения, произведение / 8Ит та. [22]
При предположениях о линейном или экспоненциальном изменении одночастичной функции распределения внутри поверхностного слоя и простейших аппроксимациях для двухчастичной функции распределения Т. И. Антоненко было получено значение толщины поверхностного слоя бензола около 2 - 3 молекулярных размеров. Но ввиду грубости принятых моделей и аппроксимаций этот расчет может носить лишь оценочный характер. До настоящего времени вопрос о связи коэффициента эллиптичности с эффективной толщиной поверхностного слоя полностью не решен молекулярной теорией. [23]
Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, - в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. [24]
Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п nrjj много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо ( 12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [25]
Так, для системы невзаимодействующих частиц достаточно знать функцию распределения, зависящую от координат и импульсов одной частицы1, поскольку все они равноправны в смысле вероятности нахождения в каком-либо элементе фазового пространства. Если между частицами имеется слабое взаимодействие, то в ряде случаев положение частицы может коррелировать только с положением какой-либо одной частицы, т.е. существенны только парные корреляции. Тогда необходимо знать одно - и двухчастичные функции распределения. [26]
При использовании обрезанного потенциала (10.8) в выражении (10.15) возникает 6-функция, вкладом которой пренебрегают, приближенно учитывая отброшенные члены. Если потенциал взаимодействия содержит разрывы, то непосредственно пользоваться выражением (10.15) нельзя. Поэтому, например, при определении давления системы твердых сфер необходимо знать значение двухчастичной функции распределения в точке разрыва потенциала. [27]
В реальной плазме между электронами и ионами действуют кулоновские силы. В дальнейшем мы рассмотрим это взаимодействие с помощью уравнения Фоккера - Планка с учетом пределов и величины эффективного двухчастичного взаимодействия. Действительно, можно показать [8], что вычисленная с точностью до членов первого порядка двухчастичная функция распределения приводит к уравнению Фоккера - Планка без каких-либо искусственных ограничений. Это подтверждает целесообразность уравнения Фоккера - Планка. [28]
В этой главе мы показали, что одночастичное распределение единственным образом определяет макроскопические переменные. Эти макроскопические переменные являются компонентами термодинамического состояния. Из одной функции получаются все данные, которые необходимо знать в гидродинамике. Если плотность становится слишком большой, так что межмолекулярные силы вносят вклад в напряжение, как это имеет место в жидкости, то в гидродинамические переменные начинает давать вклад двухчастичная функция распределения. [29]
С формальной точки зрения наличие долгоживущих корреляций свидетельствует о том, что в системе есть динамические переменные, которые медленно меняются со временем. Следовательно, они должны быть включены в набор базисных переменных, описывающих макроскопическое состояние. Прежде всего, такими переменными являются локально сохраняющиеся величины. В отличие от других локально сохраняющихся величин - плотностей массы и импульса - плотность энергии невозможно точно выразить через одночастичную функцию распределения, поскольку средняя потенциальная энергия выражается через двухчастичную функцию распределения. [30]