Cтраница 1
Инвариантность множества Парето относительно строго возрастающего преобразования критериев. [1]
Инвариантность множества всех вполне перечислимых систем относительно перехода к эквивалентным нумерациям позволяет рассматривать структуру указанного множества в качестве характеристики заданной нумерации семейства. [2]
Инвариантность множества V доказана. [3]
В предыдущем пункте была установлена инвариантность Множества Парето относительно строго возрастающего преобразования. Линейное положительное преобразование является чайным случаем строго возрастающего преобразования. [4]
Кстати, упомянутые условия всегда будут формулироваться в виде требования инвариантности множества пробных функций относительно того или иного преобразования. Однако уже до рассмотрения соответствующих деталей ясно, что если пробные функции имеют фиксированные общие масштабы, то должна быть достаточной инвариантность лишь с точностью до изменений в этих масштабах. Иными словами, при преобразовании один элемент множества переходит в какой-то другой, с возможным умножением последнего на постоянную. Дело в том, как мы это обсуждали в 5 4, что общий масштаб пробных Функций несуществен для окончательных результатов. [5]
Соотношение ( 15) допускает дальнейшее упрощение, если принять предположение об инвариантности множества пробных функций по отношению к вращениям, трансляциям и инверсии электронов. В таком случае для справедливости равенств ( 14) это множество совершенно не должно явно зависеть от Ra. [6]
Можно было бы установить это так же, как и в аналогичном рассуждении относительно G2 ( § 7.6), используя инвариантность множества весов относительно группы Вейля. [7]
Рассмотрим наконец обобщенную теорему Гельмана - Фейнмана для некоторого вещественного параметра ст. В § 15 мы видели, что достаточным условием ее справедливости в рамках вариационного метода является инвариантность множества пробных функций относительно изменений ст. Однако в случае ВВМ ситуация оказывается несколько более сложной, так как здесь могут представиться три разные возможности. [8]
Инвариантность множества Парето относительно строго возрастающего преобразования критериев. [9]
Теперь при изменении о изменяется и ty, причем как за счет изменения А, так и за счет явной зависимости от а. Однако при инвариантности множества пробных функций по отношению к изменениям сг изменение в явной зависимости от этого параметра должно быть эквивалентным некоторому дополнительному изменению А, поскольку должно переходить в какой-то другой элемент нашего множества. [10]
Из неравенств ( 4) и ( 5) следует, что граница ЭО множества О, за исключением ее частей, имеющих размерность не больше, чем п - 2, является бесконтактной по отношению к векторному полю, определяемому системой ( 3) и решения системы ( 3) прошивают эту границу снаружи вовнутрь множества О. Отсюда и из непрерывной зависимости решений системы ( 3) от начальных данных следует положительная инвариантность множества О. [11]
Поскольку оператор е а h порождает трансляцию системы электронов как целого в направлении k ( о чем упоминалось в § 13), отсюда следует, что при условии инвариантности множества пробных функций относительно единой трансляции в каком-то определенном направлении будет выполняться соответствующая силовая теорема. [12]
В частности, поскольку компоненты вектора L являются одноэлектронными операторами, не зависящими от спина, то в рамках методов НХФ и СНХФ выполняются все моментные теоремы. Кроме того, оператор Lk, как об этом упоминалось в § 13, генерирует единое вращение электронов вокруг fe - й координатной оси. Отсюда вытекает, что всегда, при условии инвариантности множества пробных функций относительно единых вращений вокруг некоторой определенной оси, будет выполняться соответствующая моментная теорема. [13]