Cтраница 1
Тяжелый волчок отличается от свободного тем, что он подвергается влиянию внешних сил, прежде всего веса волчка. Влияние веса свободного волчка было уничтожено опорой в центре тяжести. Если это не имеет места, то вес оказывает влияние на движение волчка. Важен случай тяжелого симметричного волчка с точкой опоры на оси симметрии ( фиг. [1]
В качестве примера рассмотрим тяжелый волчок, вращающийся вокруг оси а, к которому приложен момент относительно оси Ь, перпендикулярной а. [2]
Уравнения (5.11) и (5.12) аналогичны уравнениям движения оси тяжелого волчка, поэтому их исследование и результаты будут совпадать с теорией движения волчка. [3]
Заключительные главы 7 - 9 посвящены качественной картине вращения тяжелого волчка в наиболее сложных случаях интегрируемости Горячева-Чаплыгина и Ковалевской. Как ни странным кажется сегодня, но до работ В.В.Козлова эти задачи вообще не связывались с теорией условно-периодических функций. Центральной здесь является глава 8 и особенно теорема о равномерной возвращаемости интеграла от двухчастичной функции с нулевым средним. Эта задача оказалась довольно трудной, и лишь недавно положительный ответ получен С. В.Конягиным для нечетных функций и Н. Г. Мощевитиным в общем случае. Более того, как показал Н. Г. Мощевитин, свойство равномерной возвращаемости теряется уже для интегралов от трехчастот-ных функций. [4]
Правда, регулярная прецессия представляет собой лишь частный случай движения тяжелого волчка ( ср. Таким образом, ожидаемая псевдорегулярная прецессия действительно получается в результате наложения этих свободных нутаций на астрономическую прецессию. [5]
Следовательно, движение волчка можно представить как рассмотренную в предыдущем параграфе свободную прецессию оси волчка вокруг направления момента М ( эта прецессия соответствует нутации тяжелого волчка), на которую накладываются малые возмущения, обусловленные действием силы тяжести. Эти возмущения вызывают медленную прецессию момента М вокруг вертикали. [6]
Однако полное аналитическое рассмотрение движения свободного волчка мы отложим до следующего параграфа, где воспользуемся новым вспомогательным средством - уравнениями Эйлера. Полное же рассмотрение законов движения тяжелого волчка, поскольку оно вообще возможно, мы должны отложить даже до § 35, чтобы иметь возможность воспользоваться таким мощным средством, как общие уравнения Лагранжа. [7]
В частном случае это аналитическое представление описывает регулярную прецессию волчка, которая теперь, однако, не является общей формой движения, как было в случае свободного волчка, а получается только для специально подобранных значений n, N и W. Чаще всего наблюдаемая при обычном возбуждении тяжелого волчка прецессия является только по видимости регулярной; ее называют псевдорегулярной прецессией. Чистое вращение вокруг вертикально расположенной оси фигуры также является, и притом при любой угловой скорости, возможной ( устойчивой или неустойчивой) формой движения. [8]
В частности, для того, чтобы волчок совершал регулярную прецессию вокруг вертикали, необходимо чтобы параллели и и U2 совпадали друг с другом; следовательно, в этом случае кривая U ( u) на рис. 29 ( стр. Вследствие этого регулярная прецессия является для тяжелого волчка ( в противоположность свободному волчку) лишь частным случаем его движения. [9]
Стационарные и автоколебательные конвективные движения в полости эллипсоидальной формы ( в том числе вращающейся) подробно исследовались в работах Ф.В. Должанского с сотрудниками. В [127] показано, что конвекция идеальной жидкости в эллипсоиде с пространственно-линейными полями скорости и температуры описывается шестимодовои системой уравнений движения тяжелого волчка. Предложенная модель описывает до 13 различных стационарных режимов, обменивающихся устойчивостью при изменении числа Рэлея. Хаотический режим существует на интервалах значений числа Рэлея, ограниченных сверху и снизу последовательностями бифуркаций типа удвоения периода. [10]
Показать, что гамильтониан симметричного заряженного волчка, находящегося в однородном магнитном поле, совпадает с его кинетической энергией и является постоянной движения. Отсюда следует, что это поле не совершает работы над рассматриваемой системой [ это видно также из силы Лоренца (1.56) ] в противоположность тому, что имеет место в случае тяжелого волчка, когда сила тяжести сообщает ему дополнительную кинетическую энергию прецессии. Показать, что энергия прецессии магнитного волчка появляется за счет уменьшения скорости его собственного вращения и что при этом возникает нутация. [11]
Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения фазовых переменных р, q как однозначные голоморфные или мероморфные функции. Однозначный гамильтониан порождает комплексифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени ( или некоторой вспомогательной переменной), часто оказываются ме-роморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. Более того, исследования Ковалевской и Ляпунова но классической задаче о вращении тяжелого волчка показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в случаях, когда существует дополнительный полиномиальный интеграл. В связи с этим возникла интересная задача о соотношении между существованием однозначных голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времени; ее постановка восходит к Пенлеве. [12]
По динамике твердых тел имеется весьма обширная литература, представленная не только книгами, специально посвященными этому вопросу, но и общими курсами механики. Большинство таких книг относится к концу прошлого столетия или близко к этому времени, и авторы их следуют традиционному изложению динамики твердого тела, развитой к тому времени. По сравнению с учебником Уитте-кера книга Вебстера охватывает больший круг вопросов ( она содержит теорию потенциала, теорию упругости и гидродинамику), но общий уровень ее является более элементарным. Тем не менее, в ней затрагиваются многие современные вопросы. Изложение ее является логически последовательным и в меньшей степени формальным, чем у Уиттекера, а также более физическим и более изящным. Векторным аппаратом автор не пользуется, так как - в то время, когда писалась эта книга, векторное исчисление практически только зарождалось. Вторая часть этой книги посвящена динамике твердогб тела и содержит подробное исследование движения симметричного волчка при отсутствии сил. Движение тяжелого волчка исследуется здесь методом, подобным изложенному в настоящей главе, но более длинно. [13]