Cтраница 1
Хилтона [10], где CW-комплексы изучаются в гл. [1]
Двойственностью Экмана - Хилтона не исчерпываются раз - личные двойственности, существующие между объектами гомото - пической теории. В отличие от двойственности Экмана - Хилтона действенность Спеньера - Уайтхеда выражается в виде точных теорем и потому может служить не только для эвристических целей, но и для целей доказательств. В работе Спеньера [51] эта двойственность применена к изучению бесконечных симметрических произведений. Дальнейшему развитию общей теории двойственности по Спеньеру - Уайтхеду была посвящена работа Спеньера и Уайтхеда [52], в которой эта двойственность строится для классов относительный гомотопий. [2]
Таким образом, можно сказать, что инварианты Хопфа - Хилтона измеряют отклонение операции Эа: рн - Роа от аддитивности. [3]
Однако, несмотря на отсутствие строгого определения, двойственность Экмана - Хилтона носит достаточно определенный характер для того, чтобы можно было ставить вопрос о дуализации тех или иных известных понятий. Так, например, интересно выяснить, какие понятия двойственны понятию топологической группы ( или более обще, Я-пространства) и понятию действия группы в пространстве. Этот вопрос рассматривается в работе Экмана и Хилтона [45], где вводятся и изучаются понятия когруппы и кодействия. В работе Хилтона [46] и Ганя [47] вводятся и изучаются числовые инварианты, двойственные категории в смысле Люстерника - Шнирельмана. [4]
Другой вид задач, с которыми мы часто сталкиваемся, иллюстрируется примером из работы Дилла, Хилтона и Рейтмана ( [30], стр. Это дало бы компании возможность понизить цену на устройство, сравняв ее с ценой аналогичного прибора, недавно выпущенного конкурирующей фирмой. [5]
Из оставшихся еще нерассмотренными работ, посвященных различным, особняком стоящим, вопросам теории гомотопии, мы укажем, в первую очередь, работу Берштейна и Хилтона [149], в которой рассматривается категория ( в смысле Люстерника - Шнирельмана) конуса некоторого отображения Л - Х и, в частности, вопрос об условиях совпадения этой категории с категорией пространства X. В этой работе построен пример пространства категории 2, не являющегося надстройкой. [6]
Двойственностью Экмана - Хилтона не исчерпываются раз - личные двойственности, существующие между объектами гомото - пической теории. В отличие от двойственности Экмана - Хилтона действенность Спеньера - Уайтхеда выражается в виде точных теорем и потому может служить не только для эвристических целей, но и для целей доказательств. В работе Спеньера [51] эта двойственность применена к изучению бесконечных симметрических произведений. Дальнейшему развитию общей теории двойственности по Спеньеру - Уайтхеду была посвящена работа Спеньера и Уайтхеда [52], в которой эта двойственность строится для классов относительный гомотопий. [7]
Однако, несмотря на отсутствие строгого определения, двойственность Экмана - Хилтона носит достаточно определенный характер для того, чтобы можно было ставить вопрос о дуализации тех или иных известных понятий. Так, например, интересно выяснить, какие понятия двойственны понятию топологической группы ( или более обще, Я-пространства) и понятию действия группы в пространстве. Этот вопрос рассматривается в работе Экмана и Хилтона [45], где вводятся и изучаются понятия когруппы и кодействия. В работе Хилтона [46] и Ганя [47] вводятся и изучаются числовые инварианты, двойственные категории в смысле Люстерника - Шнирельмана. [8]
Однако, она не имела точного математического определения и лежала в области эвристических наблюдений. В связи с этим большой интерес представляет собой работа Фукса [43], в которой делается попытка придать двойственности Экмана - Хилтона точный математический смысл. Фукс рассматривает одноместные функторы, определенные и принимающие значения в категории пространств с отмеченной точкой, и предлагает называть функтором, двойственным некоторому функтору F, функтор, сопоставляющий каждому пространству А пространство ( соответствующим образом: топологизован-ное) естественных отображений функтора F в функтор приведенного прямого умножения на пространство А. Таким образом, Фукс строит двойственность не для понятий, а для функторов. Экмана - Хилтона является отражением двойственности, имеющей место в категории функторов. К сожалению, функторы алгебраического характера ( как например, группы когомологий и гомотопические группы) укладываются в схему Фукса - Шварца лишь с натяжкой, и обоснование двойственности Экмана - Хилтона для таких функторов по существу остается еще нерешенной задачей. [9]
Для того, чтобы получить определение, удовлетворяющее принципу двойственности, следует ( что Катута и делает) в обычном определении заменить пространства Мура пространствами, определение которых аналогично определению пространств Мура и получается из него заменой групп гомологии группами когомологий. Поэтому Катута вынужден ограничиваться группами с конечным числом образующих, для которых вопрос о существовании соответствующих пространств тривиально решается в положительном смысле. Как и следовало ожидать, построенные Катута гомотопические группы с коэффициентами обладают всеми хорошими свойствами обычных гомотопических групп, что еще раз подтверждает принцип двойственности Экмана - Хилтона. Что же касается гомотопических групп с коэффициентами в группах, имеющих бесконечное число образующих, то вопрос об их правильном определении остается открытым. [10]
Однако эта формула настолько сложна, что на практике ею пользоваться нельзя. Конечно, не исключено, что ее можно - за счет сокращения подобных членов - существенно упростить и сделать работоспособной, но для этого надо подробнее, чем это пока сделано, разобраться с соотношениями между инвариантами Хопфа - Хилтона. [11]
Показано также, что в множество гомотопич. X - - У тогда и только тогда можно ввести естественную по Y групповую операцию, когда X является ко - Н - пространством. Более удовлетворительное определение ( согласующееся с общим принципом двойственности Экмана - Хилтона) было получено при замене М - пространств Мура ко - М - пространствами. [12]
Однако, она не имела точного математического определения и лежала в области эвристических наблюдений. В связи с этим большой интерес представляет собой работа Фукса [43], в которой делается попытка придать двойственности Экмана - Хилтона точный математический смысл. Фукс рассматривает одноместные функторы, определенные и принимающие значения в категории пространств с отмеченной точкой, и предлагает называть функтором, двойственным некоторому функтору F, функтор, сопоставляющий каждому пространству А пространство ( соответствующим образом: топологизован-ное) естественных отображений функтора F в функтор приведенного прямого умножения на пространство А. Таким образом, Фукс строит двойственность не для понятий, а для функторов. Экмана - Хилтона является отражением двойственности, имеющей место в категории функторов. К сожалению, функторы алгебраического характера ( как например, группы когомологий и гомотопические группы) укладываются в схему Фукса - Шварца лишь с натяжкой, и обоснование двойственности Экмана - Хилтона для таких функторов по существу остается еще нерешенной задачей. [13]
Однако, она не имела точного математического определения и лежала в области эвристических наблюдений. В связи с этим большой интерес представляет собой работа Фукса [43], в которой делается попытка придать двойственности Экмана - Хилтона точный математический смысл. Фукс рассматривает одноместные функторы, определенные и принимающие значения в категории пространств с отмеченной точкой, и предлагает называть функтором, двойственным некоторому функтору F, функтор, сопоставляющий каждому пространству А пространство ( соответствующим образом: топологизован-ное) естественных отображений функтора F в функтор приведенного прямого умножения на пространство А. Таким образом, Фукс строит двойственность не для понятий, а для функторов. Экмана - Хилтона является отражением двойственности, имеющей место в категории функторов. К сожалению, функторы алгебраического характера ( как например, группы когомологий и гомотопические группы) укладываются в схему Фукса - Шварца лишь с натяжкой, и обоснование двойственности Экмана - Хилтона для таких функторов по существу остается еще нерешенной задачей. [14]