Cтраница 3
Зависимость (VII.40) может быть получена путем решения вариационной задачи о наиболее вероятном состоянии ансамбля систем, обменивающихся друг с другом энергией. Вывод по существу оказывается аналогичным тому, который был исп льзо-ван для большого канонического ансамбля в гл. [31]
Прежде всего мы должны точно определить, что подразумевается под статистическим равновесием такого ансамбля систем. Сущность статистического равновесия состоит в неизменности числа систем, заключающихся внутри любых заданных фазовых границ. Поэтому мы должны определить, как понимать термин фаза в подобных случаях. Если частицы считаются неразличимыми, то, невидимому, будет соответствовать духу статистического метода рассмотрение фаз, как идентичных. В самом деле, можно было бы утверждать, что в ансамбле систем, подобном тому, который мы рассматриваем, невозможна никакая тождественность между частицами различных систем, кроме тождественности качеств, и если v частиц одной системы описаны как совершенно подобные друг другу и v частицам другой системы, то не остается ничего, на чем можно основать отождествление какой-либо определенной частицы первой системы с какой-либо определенной частицей второй. [32]
Такая группа систем, каждая из которых состоит из п частиц, называется ансамблем систем. [33]
Применение этого принципа не ограничено случаями, в которых имеется формальное и явное указание на ансамбль систем. Однако, концепция такого ансамбля может служить для уточнения понятия вероятности. В самом деле, при вероятностных исследованиях принято описывать все, что не вполне известно, как нечто, произвольно извлеченное из большого числа вполне определенных объектов. Но если мы предпочтем обойтись без какого-либо указания на знсамбль систем, мы увидим, что вероятность нахождения фазы системы в некоторый определенный момент внутри определенных границ равна вероятности нахождения фаеы в какой-либо другой момент внутри границ, образованных фазами, соответствующими первому моменту. В самом деле, одно из этих событий влечет с необходимостью другое. [34]
В пространстве 2 / г измерений этот случай может быть сделан аналитически тождественным с случаем ансамбля систем с 2п степенями свободы, но аналогия является полной уже в обыкновенном пространстве. Допустим, что жидкость содер жит некоторое количество окрашивающего вещества, которое не влияет на ее гидродинамические свойства. Допустим, орнако, что окрашивающее вещество распределено с переменней плотностью. Если мы сообщим жидкости какое бы то ни было движение, подчиненное лишь гидродинамическому заксну несжимаемости ( это может быть стационарное или изменяющееся со временем течение), плотность окрашивающего вещества в любой определенней точке жидкости не будет изменяться и средний квадрат этой плотности также останется неизменным. Тем не менее, нет чфакта более знакомого нам, чем то, что перемешивание стремится привести жидкость в состояние однородной смеси, или однородных плотностей ее компснент, характеризующееся минимальными аначениями срерниХ квадратов этих плотностей. Правда, в физических опытах результат ускоряется процессом, диффузии, но, очевидно, ен не зависит от этого процесса. [35]
Здесь используется термодинамический формализм теории случайных процессов, альтернативный к статистическому, основанному на понятии представляющего ансамбля системы. [36]
В статистике, как и следовало ожидать, давление р мы заменяем усредненной по всему ансамблю систем силой р на единицу площади. [37]
Но мы видели в последней главе, что когда фазовое распределение не является распределением статистического равновесия, ансамбль систем может и, вообще говоря, должен, спустя более или менее долгий промежуток времени, притти к состоянию, которое моано рассматривать, если пренебречь весьма малыми различиями в фазах, как состояние статистического равновесия, и в котором, следовательно, среднее значение показателя YJ меньше, чем в первоначальном. Но если изменение внешних координат очень мало, то изменение распределения, необходимого для равновесия, обычно будет, вообще говоря, также соответственно малым. Поэтому первоначальное распределение по фазам, поскольку оно мало отличается от распределения, которое находилось бы в статистическом равновесии при новых значениях внешних координат, можно предположить имеющим значение tlt отличающееся на малую величину второго порядка от минимального значения, характеризующего состояние статистического равновесия. Уменьшение среднего показателя, получающееся с течением времени в результате очень малого изменения внешних координат, не может превысить этой малой величины второго порядка. [38]
Предметом нашего исследования должен теперь явиться эффект, который в действительности будет иметь место с течением времени в ансамбле систем, в котором внешние координаты изменяются произвольным образом. Предположим сначала, что йти координаты изменяются внезапно в определенный момент, а до этого момента, так же как и после него, остаются постоянными. Из определения внешних координат следует, что изменение в момент, когда оно имеет место, не влияет на фазу ни одной системы ансамбля. Следовательно, оно неизме-яет показателя вероятности фазы i ни одной системы или среднего значения показателя т ] в этот момент. И если эти величины были постоянны во времени как до изменения внешних координат, так и после этого изменения, то их постоянство во вре-ени не нарушается и этим изменением. Действительно, при доказательстве сохранения вероятности фазы в главе I изменение внешних координат не было исключено. [39]
Принципиальное отличие модели (11.3) от обычных систем дифференциальных уравнений заключается в том, что здесь в поле зрения находится целый ансамбль систем. OI - Если речь идет об асимптотической устойчивости равновесия (11.3), то это подразумевает сходимость x ( t) - ж всех траекторий ансамбля. [40]
Что же касается Эйнштейна, то он предпочитает принять постулат 2 и рассматривать волну ф лишь как статистическую характеристику ансамбля систем, находящихся в одном и том же состоянии. [41]
Если мы будем считать фазу представленной точкой в 2га - мер-ном пространстве, то изменения, происходящие со временем в нашем ансамбле систем, будут представлены в подобном пространстве некоторым потоком. Этот поток постоянен, поскольку внешние координаты не подвергаются изменению. [42]
Таким образом, определение числа различных способов заполнения фазового пространства, отвечающего различным видам функции и распределения р ( е), для данного ансамбля систем и оказалось тем критерием, с помощью которого удается не только отличать друг от друга функции р ( е), но и найти общий вид этой функции для ансамбля квазинезависимых систем. [43]
Но принцип сохранения фазового объема, который был доказан именно во втором из приведенных выше доказательств, независимо от какого бы то ни было указания на ансамбль систем, требует, чтобы значения кратных интегралов в этом нии были равны друг другу. [44]
При установлении связи между статистической механикой и термодинамикой Гиббс предполагает ( и это предположение в выводе Гиббса не может быть отброшено), что при адиабатическом изменении внешних параметров ансамбль систем все время находится в состоянии, описываемом канонической функцией распределения. В противоположность этому, предположение Гиббса в общем случае ошибочно. Как уже отмечалось, если в начальный момент ансамбль изолированных систем имел по энергиям каноническое распределение, то при адиабатическом изменении внешних параметров энергия систем изменяется так, что, вообще говоря, каноническое распределение теряется. [45]