Cтраница 2
Немногие элементы свободной алгебры ранга, большего 1, коммутируют между собой, что приводит к предположению, что централизатор любого нескалярного элемента этой алгебры должен быть достаточно маленьким кольцом. Это предположение, как мы увидим ниже в теореме 8.5, вполне оправдывается. Аналогичный вопрос о централизаторах элементов может быть поставлен и для кольца формальных степенных рядов. Мы начнем именно с этого случая, поскольку он намного проще. [16]
Постепенно в обиход вошел термин локальный теоретико-групповой анализ для обозначения той части исследований простых групп, которая имеет дело с описанием строения локальных подгрупп в G, в первую очередь для получения информации о строении и способе вложения в G ( а) максимальных подгрупп, ( Ь) централизаторов инволюций и ( с) централизаторов элементов нечетного простого порядка. [17]
Соответственно мы называем группу G тонкой или квазитонкой. При е ( О) 3 в анализе доминируют централизаторы элементов нечетного простого порядка. В отличие от этого анализ тонких и квазитонких групп сконцентрирован непосредственно на строении максимальных 2-локальных подгрупп в G. С другой стороны, на более поздних стадиях рассуждений между случаями e ( G) 3 и 0 ( 0) 2 наблюдается сильное сходство. [18]
Тогда N, очевидно, - подгруппа в G; она называется нормализатором подмножества S. Если 5 состоит из одного элемента а, то N называют также централизатором элемента а. Тогда Zs называется централизатором подмножества S, Централизатор самой группы О называется ее центром. Это подгруппа в G, состоящая из всех ее элементов, коммутирующих со всеми другими элементами, и, очевидно, инвариантная в О. [19]
Предположим, что группа Л нетривиальна. Ее сопряжение с помощью каждого элемента из Г определяет некоторый ее автоморфизм. По лемме 2.10 централизатор любого нетривиального элемента в PSL ( 2, R) всегда абелев, поэтому и группа Л абелева, а поскольку она дискретна и не имеет кручения, она должна быть бесконечной циклической. Поэтому в Г существует коммутирующая с Л подгруппа Ti индекса, не превосходящего двух. Та же лемма 2.10 показывает теперь, что группа Т абелева. Если FI состоит из гиперболических изометрий, то существует единственная геодезическая / в Я2, инвариантная относительно действия группы Гь Мы видим, что если через GI обозначить подгруппу в G, соответствующую подгруппе Г ], то плоскость / XRciH2XR инвариантна относительно GI. Так как эта плоскость изометрична эвклидовой плоскости и группа GJ действует на ней дискретно, то эта группа изоморфна Z или Z X Z. Если же группа FI состоит из параболических изометрий, то относительно нее инвариантен каждый орицикл в Я2 с центром в неподвижной точке группы IY [ Напомним, что ( для модели Я2 в верхней полуплоскости) если принять, что неподвижной точкой группы ГЛ является оо, то FI состоит из горизонтальных сдвигов и поэтому оставляет на месте каждую прямую у const. Эти прямые и являются орициклами. [20]
Немногие элементы свободной алгебры ранга, большего 1, коммутируют между собой, что приводит к предположению, что централизатор любого нескалярного элемента этой алгебры должен быть достаточно маленьким кольцом. Это предположение, как мы увидим ниже в теореме 8.5, вполне оправдывается. Аналогичный вопрос о централизаторах элементов может быть поставлен и для кольца формальных степенных рядов. Мы начнем именно с этого случая, поскольку он намного проще. [21]
Если абелева р-группа Д, аЪ ] содержится в подгруппе М, то можно выбрать в R такой элемент х, что его централизатор в подгруппе Рг не принадлежит R. Так как элемент х содержится в изолированной р-группе Д, то его централизатор также является р-группой. Силовская р-группа группы G, содержащая централизатор элемента х, не принадлежит М, но имеет с ней большее, чем /), пересечение. [22]
Теперь если / известна с самого начала анализа, то известна также J. Таким образом, начиная рассуждение с / 7-компоненты / в Lp ( Ca), нам удалось использовать теорему 4.79 как общий метод для описания некоторых - компонент централизаторов в G других элементов порядка р из Сд, которые тесно связаны с первоначальной / 7-компонентой / в Са. Этот процесс раздутия играет фундаментальную роль в анализе централизаторов элементов порядка р в простых группах. [23]
Нормальное замыкание К компоненты J ( из Lp ( С / ( Ь))) в Lp ( Cb) называют раздутием J в Съ. Наша теорема дает хорошую информацию об этом раздутии. Если / С является / ( - группой ( а на практике это будет так), то известное строение централизаторов элементов порядка р, действующих на таких группах, показывает, что в действительности J-квазипростая группа. [24]
Если С - додекада, неподвижное пространство не может содержать векторов вида ( ( 2) 8016) или ( ( F3) ( 1) 23) и потому содержит в Л ( 2) только 22 - 66 векторов вида ( ( 4) 2022), ненулевые координаты которых лежат в неподвижном пространстве. Назовем два таких вектора скрещенными, за исключением случаев, когда они равны, противоположны или ортогональны. Отсюда следует ( поскольку ( 40 / 40 /) ( 40 - - - 4vj) 8vi), что централизатор элемента ее лежит в N и потому совпадает с группой 212Mi2, централизующей ЕС в N. Такой централизатор инволюции ее в - 3 есть ecXMi2 что видно, если взять в качестве неподвижного вектора группы - 3 вектор 212012 - ср. [25]
В частности, Голдшмидту удалось снизить наложенные мною ограничения на ранг группы Л, а также упростить и прояснить само понятие сигнализаторного функтора. Поскольку сигнализаторные функторы также играют важную роль в изучении централизаторов элементов нечетного простого порядка, то все определения будут даваться для произвольных простых чисел. [26]