Cтраница 2
На этот раз нам нужны новые принципы, чтобы показать, что и в этом случае существуют периодические решения к ( t) уравнения ( 1) в окрестности к ( /), так как, например, масса v мала ( v 0) и периодическое движение имеет место в близкой окрестности тела массы v ( называемого планетой), где возмущения, вызываемые другим, более массивным телом, находящимся почти в покое в инерциальной системе координат, приводят к большим отклонениям от кеплерова движения для третьего тела вблизи обращающейся планеты. Аналогичный результат для спутника, показывающий для каждого достаточно малого значения интеграла Якоби существование счетного множества периодических решений, которые становятся замкнутыми только после большого числа оборотов вокруг планеты, был недавно получен Конли ( Conley), использовавшим теорему Пуанкаре - Биркгоффа о неподвижной точке и новое построение классических околокруговых решений, упоминавшихся выше. Эти периодические решения уравнения ( 1) все еще нуждаются в более точном геометрическом описании. [16]
Оказывается, что при п2 для всех о не существует аналитических первых интегралов задачи многих тел, независимых с интегралом Якоби. Поскольку у ( М), эти свойства ограниченной задачи многих тел согласуются с приведенным выше общим утверждением. [17]
До сих пор нам не удавалось доказать существования периодических орбит для fi 7 0, но, несколько изменив подход к решению этого вопроса, мы можем провести это доказательство. Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических решений с периодом а. Pm-i - В результате мы их выразим как функции от и. Для того чтобы такое решение было возможно, необходимо, чтобы Н 5 0, где матрица Н получается из F путем отбрасывания ( т - 1) - й строки и ттг-го столбца. Если удовлетворяются все уравнения (30.7.7), кроме одного, то это последнее уравнение будет удовлетворяться автоматически благодаря интегралу Якоби. Это утверждение геометрически совершенно очевидно. Чтобы получить формальное доказательство, обозначим фг ( Р; и. [18]