Cтраница 1
Винтовые интегралы, теория которых весьма изящно излагается при помощи винтового исчисления, были открыты незадолго до Котельникова итальянским механиком В, Черрути, который, однако, не дал этой теории дальнейшего развития. [1]
Далее, изучая образование из двух винтовых интегралов третьего с помощью скобок Пуассона, Котельников приходит к операции умножения винтов, аналогичной операции векторного умножения векторов. [2]
Диссертационная работа А. П. Котельникова заканчивается исследованием характера систем винтовых интегралов, которые получаются с помощью скобок Пуассона, в каждом частном случае в зависимости от характера данных интегралов. [3]
Это истолкование векторов Котельникова было предложено П. А. Широковым в его работе Преобразование винтовых интегралов в пространствах постоянной кривизны ( III и р о к о в. [4]
Винтовое исчисление Котельникова выросло из доказанной им теоремы 340 о так называемых винтовых интегралах, частными случаями которых являются интеграл движения центра тяжести системы материальных точек и интеграл площадей. Изучая образование из двух винтовых интегралов третьего при помощи скобок Пуассона, Котельников приходит к операции умножения винтов, аналогичной векторному умножению векторов. Эта операция вместе с операциями, определенными Боллом, позволила Котельни-кову построить исчисление винтов, вполне аналогичное векторному исчислению. Винты, представляющие собой совокупности двух коллинеарных, скользящего и свободного, векторов а и а, он записывал также в форме параболических бивекторов aa-f - ea ( e20) Клиффорда. [5]
Пуассона [ S, F ] const также будет интегралом движения; совокупность винтов, для которых существуют винтовые интегралы, образуют замкнутую группу; существуют такие системы, у которых все винтовые интегралы соответствуют винтам данной замкнутой группы; совокупность движений, определяемых винтами винтовых интегралов, образует группу движений; если оси винтовых интегралов Si const и S2 - const совпадают или оба интеграла поступательны, скобки Пуассона [ Si, S2 ] тождественно обращаются в нуль и не дают новых интегралов. Во всех остальных случаях равенство [ Si, S % ] const не будет тождеством и даст винтовой интеграл, независимый от интегралов. [6]
С помощью этих понятий доказываются теоремы, аналогичные механическим теоремам Винтового счислениям В частности, в неевклидовых пространствах, так же как в евклидовом пространстве, имеют место теоремы о винтовых интегралах и о связи этих интегралов с группами движений. [7]
Пуассона [ S, F ] const также будет интегралом движения; совокупность винтов, для которых существуют винтовые интегралы, образуют замкнутую группу; существуют такие системы, у которых все винтовые интегралы соответствуют винтам данной замкнутой группы; совокупность движений, определяемых винтами винтовых интегралов, образует группу движений; если оси винтовых интегралов Si const и S2 - const совпадают или оба интеграла поступательны, скобки Пуассона [ Si, S2 ] тождественно обращаются в нуль и не дают новых интегралов. Во всех остальных случаях равенство [ Si, S % ] const не будет тождеством и даст винтовой интеграл, независимый от интегралов. [8]
Пуассона [ S, F ] const также будет интегралом движения; совокупность винтов, для которых существуют винтовые интегралы, образуют замкнутую группу; существуют такие системы, у которых все винтовые интегралы соответствуют винтам данной замкнутой группы; совокупность движений, определяемых винтами винтовых интегралов, образует группу движений; если оси винтовых интегралов Si const и S2 - const совпадают или оба интеграла поступательны, скобки Пуассона [ Si, S2 ] тождественно обращаются в нуль и не дают новых интегралов. Во всех остальных случаях равенство [ Si, S % ] const не будет тождеством и даст винтовой интеграл, независимый от интегралов. [9]
Пуассона [ S, F ] const также будет интегралом движения; совокупность винтов, для которых существуют винтовые интегралы, образуют замкнутую группу; существуют такие системы, у которых все винтовые интегралы соответствуют винтам данной замкнутой группы; совокупность движений, определяемых винтами винтовых интегралов, образует группу движений; если оси винтовых интегралов Si const и S2 - const совпадают или оба интеграла поступательны, скобки Пуассона [ Si, S2 ] тождественно обращаются в нуль и не дают новых интегралов. Во всех остальных случаях равенство [ Si, S % ] const не будет тождеством и даст винтовой интеграл, независимый от интегралов. [10]
Винтовое исчисление Котельникова выросло из доказанной им теоремы 340 о так называемых винтовых интегралах, частными случаями которых являются интеграл движения центра тяжести системы материальных точек и интеграл площадей. Изучая образование из двух винтовых интегралов третьего при помощи скобок Пуассона, Котельников приходит к операции умножения винтов, аналогичной векторному умножению векторов. Эта операция вместе с операциями, определенными Боллом, позволила Котельни-кову построить исчисление винтов, вполне аналогичное векторному исчислению. Винты, представляющие собой совокупности двух коллинеарных, скользящего и свободного, векторов а и а, он записывал также в форме параболических бивекторов aa-f - ea ( e20) Клиффорда. [11]
Пуассона [ S, F ] const также будет интегралом движения; совокупность винтов, для которых существуют винтовые интегралы, образуют замкнутую группу; существуют такие системы, у которых все винтовые интегралы соответствуют винтам данной замкнутой группы; совокупность движений, определяемых винтами винтовых интегралов, образует группу движений; если оси винтовых интегралов Si const и S2 - const совпадают или оба интеграла поступательны, скобки Пуассона [ Si, S2 ] тождественно обращаются в нуль и не дают новых интегралов. Во всех остальных случаях равенство [ Si, S % ] const не будет тождеством и даст винтовой интеграл, независимый от интегралов. [12]
Под тем же названием эта работа была опубликована в 1894 г. по представлению Дарбу в Докладах Парижской Академии наук. В этой работе Котельников формулирует общую теорему механики, частными случаями которой являются известные теоремы об интеграле движения центра тяжести системы материальных точек и об интеграле площадей: указанные интегралы являются частными случаями вводимых Котельниковым винтовых интегралов. [13]
В 1916 г., переехав в Геттин-ген, бывший в то время главным математическим центром Германии, Эмми Нетер расширяет тематику своих работ, перейдя от изучения алгебраических инвариантов к изучению дифференциальных инвариантов. Этот переход был связан с только что появившейся в то время общей теорией относительности Эйнштейна, переключившей внимание многих математиков и физиков от алгебраических проблем к дифференциальным. В указанной работе Нетер рассматривает задачи вариационного исчисления, которые допускают непрерывную группу преобразований, зависящую от одного или нескольких параметров. Она показывает, что в этом случае можно получить столько же первых интегралов дифференциального уравнения, к которому сводится решение задачи, сколько параметров в группе преобразований. Нетер рассматривает различные применения этой теоремы к механике, электродинамике и теории относительности. В случае классической механики теорема дает возможность получить первые интегралы уравнений движений системы, допускающей непрерывную группу преобразований. В том случае, когда эта группа - группа винтовых движений, теорема Нетер сводится к теореме Котельникова о винтовых интегралах. [14]