Cтраница 1
Известные первые интегралы идентичны заданию уравнений кинематических связей, каждая из которых приводит к уменьшению числа степеней свободы системы. [1]
Дифференциальные уравнения и известные первые интегралы ( интеграл площадей, интеграл энергии) позволяют получить ценную дополнительную информацию о возможных движениях нескольких гравитирующих тел. [2]
Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения фазовых переменных р, q как однозначные голоморфные или мероморфные функции. Однозначный гамильтониан порождает комплексифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени ( или некоторой вспомогательной переменной), часто оказываются ме-роморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. Более того, исследования Ковалевской и Ляпунова но классической задаче о вращении тяжелого волчка показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в случаях, когда существует дополнительный полиномиальный интеграл. В связи с этим возникла интересная задача о соотношении между существованием однозначных голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времени; ее постановка восходит к Пенлеве. [3]
Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2s первых интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы канонических уравнений при помощи этой теоремы не всегда удается. [4]
Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2s первых интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы канонических уравнений с помощью этой теоремы не всегда удается. [5]
Однако среди интегралов, которые получаются путем составления скобок Пуассона, могут быть как независимые первые интегралы, так и зависимые от уже известных первых интегралов. Поэтому из первых интегралов, которые получаются при помощи теоремы Якоби - Пуассона, нужно отбирать независимые. [6]
Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, - по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение, центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца. Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [7]
Это далеко не так. На практике скобка Пуассона часто может быть либо константой, либо функцией известных первых интегралов. [8]
Интегрирование уравнения ( 30) дает угловую скорость г диска в функции от 8, после чего все сводится к определению 6 в функции от времени, так как, зная б ( t), мы сможем найти аналогичное выражение для г, а на основании первого из уравнений ( 20) и второго из уравнений ( 29) найдем и выражения для р и д; с другой стороны, после вычисления р, q и г в функциях от времени, второе и третье из уравнений ( 20) дадут o ( t) и ф ( t) посредством двух квадратур. Выгоднее, однако, взять в качестве исходного уравнения хорошо известный первый интеграл наших уравнений движения, а именно интеграл живых сил. [9]