Cтраница 1
Гладкий интеграл ( 1) - регулярная операция, в то время как обычный интеграл ( 2) этим свойством не обладает. Поэтому гладкий интеграл можно определить и для произвольной обобщенной функции ф, но это не всегда возможно для обычного интеграла. [1]
Будем называть гладкий интеграл / бот-товским па поверхности Q, если критические точки функции f на Q образуют невырожденные критические гладкие многообразия. [2]
Он связывает факт наличия дополнительного гладкого интеграла общего положения с топологией поверхности уровня интеграла энергии и количеством устойчивых замкнутых траекторий. [3]
Из этого рассуждения нельзя вывести отсутствие гладких интегралов, ибо Л нигде не плотно. Можно показать, что периодические точки в Л являются гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они плотны в Л, а множество Л - ключевое подмножество в В для класса аналитических функций. [4]
Поэтому нам представляется полезным рассматривать гладкие системы и гладкие интегралы, допускающие одновременное присутствие как интегрируемых, так и неинтегрируемых поверхностей постоянной энергии. [5]
При изучении периодических обобщенных функций полезно ввести понятие гладкого интеграла. Рассмотрим сначала случай одной переменной. [6]
При этом мы предполагаем, что система обладает вторым гладким интегралом, который мы назовем боттовским. Это интеграл, критические точки которого могут быть вырождены, но обязательно организованы в невырожденные гладкие критические подмногообразия. [7]
Легко видеть, что многообразия W содержат все поверхности Q постоянной энергии гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи боттовского гладкого интеграла. В самом деле, в силу этой теоремы классификации изоэнер-гетических поверхностей многообразия первых трех типов, а именно: 1) полнотория, 2) цилиндры, 3) ориентированные седла ( штаны), очевидно, расслаиваются со слоем окружность над двумерным многообразием с краем. [8]
Далеко не каждое трехмерное гладкое компактное замкнутое ориентируемое многообразие может выступать в роли поверхности постоянной энергии гамильтоновой системы интегрируемой при помощи боттовского гладкого интеграла. [9]
Рассмотрим четырехмерное симплектическое гладкое многообразие, и пусть v sgradH - гамильтонова система с гладким гамильтонианом Я, интегрируемая по Лиувиллю при помощи некоторого гладкого интеграла f на какой-то неособой компактно. Ограничивая ин теграл f с многообразия М4 ( или с окрестности подмногообрази. [10]
Гладкий интеграл ( 1) - регулярная операция, в то время как обычный интеграл ( 2) этим свойством не обладает. Поэтому гладкий интеграл можно определить и для произвольной обобщенной функции ф, но это не всегда возможно для обычного интеграла. [11]
Однако для перевода этого важного результата на язык теории интегрируемости гамильтоновых систем нужно дополнительное рассмотрение. Действительно, в § 1 приведен пример геодезического потока на гладкой сфере с g 1 ручками, допускающего непостоянный гладкий интеграл. В этом примере энтропия сосредоточена в небольшой области фазового пространства. [12]