Cтраница 1
Интегрирование дифференциала ds от а до 6 дает формулу вычисления длины дуги на любом конечном участке. [1]
В одном из них ( Об интегрировании иррациональных дифференциалов, 1853) была в качестве следствия общих результатов получена известная его теорема об условиях интегрируемости в элементарных функциях дифференциального бинома. Толчком к созданию этой теории послужило параболич. [2]
В предыдущем параграфе мы видели, что интегрирование рациональных дифференциалов всегда может быть выполнено с помощью элементарных функций. Дело обстоит иначе с иррациональными дифференциалами, за исключением некоторых частных случаев. Когда интегрирование возможно, оно, вообще говоря, может быть выполнено одним из следующих двух приемов: 1) либо надлежащей подстановкой делают дифференциал рациональным, что приводит к предыдущему случаю; 2) либо же устанавливают формулу приведения, которая приводит искомый интеграл к более простому, этот последний, в свою очередь, к еще более простому, и так далее, пока не получится известный интеграл. [3]
Формула Грина позволила установить это непосредственно, минуя все рассмотрения, связанные с интегрированием точных дифференциалов. При этом по новому освещена и роль предположения об односвязности основной области. [4]
Таким образом, результатом первого знакомства с Эрмитом и Лиувиллем явились знаменитые работы Чебышева об интегрировании двучленных дифференциалов, зависящих от квадратного корня из многочлена третьей или четвертой степени. Эти исследования были продолжены Е. И. Золотаревым, а позднее - И. Л. Пташицким, И. П. Долбней, Н. Г. Чеботаревым и другими. Во время той же поездки Чебышев беседовал с Эрмитом и Лиувиллем о принципах теории эллиптических функций. Ему важно было узнать, что сделано в этой области знаменитыми французскими математиками, поскольку он сам читал курс теории эллиптических функций в университете. [5]
Пташицкого под заглавием Об интегрировании в конечном виде иррациональных дифференциалов [180] имеет своим предметом весьма важный вопрос, обращавший на себя внимание математиков, занимавшихся интегрированием иррациональных дифференциалов. Еще Эйлер, которого по справедливости можно назвать основателем интегрального исчисления, искал после самых простых и известных случаев другие, когда интеграл от таких дифференциалов выражается в конечном виде. [6]
На этот довод, который Эйлер считает наиболее серьезным, приводятся следующие возражения. Интегрирование дифференциала xndx приводит к степени лишь при пф-1. Случай w - 1 является исключительным, и нельзя выводы, относящиеся к пф. [7]
После изложения основных свойств интеграла Коркин переходил к способам интегрирования и к интегрированию различных классов функций. Излагая теорему об интегрировании двучленных дифференциалов, Коркин указывал для таких интегралов выведенные им формулы приведения. [8]
Применяя формулу ( 3) к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя: и и dv v dx, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы замена и на du и dv на v в совокупности влекла за собой упрощение подинтегрального выражения. [9]
Применяя формулу ( 3) к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя: и и dv v dx, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы замена и на du и dv на v в совокупности влекла за собой упрощение подинтегрально-го выражения. [10]
Михаилу Васильевичу Остроградскому принадлежат важнейшие результаты в области интегрального исчисления: формула, сводящая вычисление тройного ( и, вообще, re - кратного) интеграла к вычислению двойного ( п - 1) - кратного ] интеграла, общий прием интеграции рациональных функций, формула преобразования переменных в многомерных интегралах и др. Пафнутий Львович Чебышев посвятил шесть больших мемуаров интегрированию алгебраических функций. Среди его классических результатов имеется знаменитая теорема об интегрировании биномиальных дифференциалов, содержащаяся в мемуаре, опубликованном в 1853 г. и озаглавленном Об интегрировании иррациональных дифференциалов. В анализе большую роль играют полиномы Чебышева. [11]
Михаилу Васильевичу Остроградскому принадлежат важнейшие результаты в области интегрального исчисления: формула, сводящая вычисление тройного ( и, вообще, re - кратного) интеграла к вычислению двойного ( п - 1) - кратного ] интеграла, общий прием интеграции рациональных функций, формула преобразования переменных в многомерных интегралах и др. Пафнутий Львович Чебышев посвятил шесть больших мемуаров интегрированию алгебраических функций. Среди его классических результатов имеется знаменитая теорема об интегрировании биномиальных дифференциалов, содержащаяся в мемуаре, опубликованном в 1853 г. и озаглавленном Об интегрировании иррациональных дифференциалов. В анализе большую роль играют полиномы Чебышева. [12]
Теория алгебраических чисел имеет две стороны. Другая сторона связана с приложением этой общей теории к таким конкретным вопросам, как, например, диофантовы уравнения, комплексное умножение эллиптических и абелевых функций или интегрирование алгебраических дифференциалов. [13]