Cтраница 1
Интегрирование уравнений Гамильтона путем определения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби часто называют методом Якоби. [1]
Способы интегрирования уравнения Гамильтона - Я коби изучаются в курсе теоретической механики. Сейчас я очень коротко остановлюсь на процедуре получения решения ( существование и гладкость которого, равно как и гладкость функции Н, предполагаются), чтобы использовать эту процедуру при разборе важного примера. [2]
Это и есть известный случай Лиувилля интегрирования уравнений Гамильтона. [3]
Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики - теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический анализ причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем: сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированых периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. [4]
Более подробно с этими вопросами, а также с методами интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби можно познакомиться я книге С. К. Годунова Уравнения математической физики, гл. [5]
Подобно задаче для двух неподвижных центров, решение можно найти путем интегрирования уравнения Гамильтона Якоби в некоторой системе криволинейных координат. [6]
Весьма интересна работа о методе вариации произвольных постоянных в применении к интегрированию уравнений Гамильтона: О вариациях произвольных постоянных в задачах динамики. [7]
В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Общие положения развиваемой им теории Донкин прилагает к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [8]
Гамильтона можно было бы записать как функцию 7i, Y и не изменяя ничего в остальных рассуждениях. Выбор в качестве новых импульсов той или иной системы Yt часто оказывается более удобным, чем выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона - Якоби. [9]
Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Если мы умеем интегрировать новые гамиль-тоновы уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию H ( q, p) в Н ( р), которая содержит только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического, преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле. [10]
Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию Н ( q, р) в Н ( р), содержащую только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле. [11]