Cтраница 1
Интегрирование векторной функции совершенно аналогично. [1]
Задачи, возникающие при интегрировании векторных функций, обычно параллельны соответствующим задачам ( гл. Радона, которые рассматриваются как непрерывные линейные отображения пространства непрерывных функций в отделимое локально выпуклое пространство. Основные вопросы настоящей главы, относящиеся к мерам Радона, концентрируются вокруг теоремы типа Лебега - Радона - Ни-кодима. [2]
При доказательстве этого утверждения используются некоторые факты из теории интегрирования векторных функций, выходящие за рамки данной книги. [3]
Известны и весьма подробно изучены также многие другие подходы к интегрированию векторных функций; некоторые из них основаны на более прямом определении интеграла как предела сумм ( см. упр. [4]
Последняя часть главы посвящена некоторым аспектам теории векторных мер Радона и теории интегрирования векторных функций. [5]
Хотя результаты, содержащиеся в предложениях 8.14.3 - 8.14.6, элементарны, ими уже можно воспользоваться, чтобы проиллюстрировать значение интегрирования векторных функций. Это будет сделано в следующем пункте. Позднее мы приведем другие примеры, демонстрирующие полезность более тонких общих теорем. [6]
Смысл введенных здесь обозначений известен из основ математического анализа. Заметим, что при интегрировании векторных функций имеют место некоторые соотношения, аналогичные известным из основ интегрального исчисления для скалярных функций. [7]
Случай векторных функций и скалярных мер представляет собой не столь уж коренное обобщение в отличие от случая векторных мер и скалярных функций. Около 30 лет тому назад задача интегрирования векторных функций по скалярной мере была очень популярна. Обзорное изложение теории интеграла Бохнера содержится в книгах Хилле [ 1, гл. [8]
Если q - скалярная функция, то метод отыскания ее среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать ее среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций. [9]
Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные замкнутые подпространства некоторых других банаховых пространств недополняемы. Недополняемость будет установлена с помощью одной довольно обгцей теоремы о компактных группах операторов, имеющих общее инвариантное подпространство; доказательство этой теоремы использует интегрирование векторных функций по мере Хаара. [10]