Cтраница 2
Ясно, что эта структура не зависит от выбора карты. [16]
Векторное поле g называется гладким, если его координаты г ( х) - гладкие функции. Очевидно, это определение гладкости векторного поля не зависит от выбора карты. [17]
Доказательство леммы 1 достаточно провести в каждой карте Ua многообразия Afj. В самом деле, понятие независимости формы от dt не зависит от выбора карты и выполняется независимо в каждой точке. Поэтому, если разложение ( 25) произведено в каждой карте, то они совпадают на пересечениях карт. Adx - 1 / dt, для которых утверждение леммы очевидно. [18]
Относительно этого умножения k является алгеброй Ли. Формальные группы Fc и FC, определенные разными картами, изоморфны, а указанная структура алгебры Ли на д не зависит от выбора карты с. [19]
Пусть на М существует риманова метрика, обладающая римановым I авномориым атласом, в картах которого на каждом шаре Vtn ( f) выполняются неравенства а ( t m) ( С. A ( t m) C при всех te [ 0) Vln ( i), где константа СО не зависит от выбора карты и тара. [20]
Далее везде мы будем считать, что оба многообразия М и N компактны и ориентированы и tva. Действительно, в этом случае в каждой карте можно проверить интегрируемость с квадратом производных отображения до порядка S и показать, что указанное свойство интегрируемости не зависит от выбора карты. [21]
На эталонной карте в этом случае пробиваются отверстия во всех позициях, кроме тех, по которым производится отбор. Сигнал на выбор карты будет подан в том случае, когда не будет совпадений пробивок эталонной и исследуемой карты по заданным колонкам. [22]
Таким образом, ограничение данного множества локальных координат % а на меньшую карту Оаа a Ua также определяет подходящую координатную карту. Дополнительная возможность состоит во взятии композиции данного локального координатного отображения %: Ua - - Va с произвольным диффеоморфизмом if: VK - - f7a пространства Rm. Такой диффеоморфизм дает нам замену координат. Поскольку оба отображения % и if % a - одинаково подходящие локальные координаты на карте Ua, никакое свойство многообразия М или объекта, определенного на М, не должно зависеть от выбора локальных координат. Конечно, явные формулы для данного объекта могут меняться при переходе от одной карты к другой, однако внутренняя характеристика объекта остается бескоординатной. Если мы предпочитаем определить некоторый объект на многообразии, задавая его формулами в данной координатной карте, то должны проверить, что это определение на самом деле не зависит от используемых координат. Это требует исследования того, как ведет себя объект при заменах координат. Поскольку легче всего проводить вычисления в локальных координатах, часто выбор специальной координатной карты, в которой интересующий нас объект принимает особенно простой вид, позволяет нам значительно упростить многие из таких вычислений. [23]