Cтраница 1
Выбор аксиом не является вполне объективной задачей. Обычно мы ожидаем достижения некоторой определенной цели - скажем, выводимости некоторой конкретной теоремы или теорем из данной системы аксиом - и наша задача является точной и объективной только в этих пределах. Но помимо этого всегда имеются другие важные пожелания менее формального характера. В ситуации, подобной нашей, последнее требование является особенно существенным, несмотря на свою неопределенность: мы хотим сделать интуитивное понятие поддающимся математическому изучению и увидеть с максимальной ясностью, каких предположений это требует. [1]
Синтетический характер математического метода проявляется в выборе аксиом. Говоря об аксиомах, следует иметь в виду не только математические аксиомы в собственном смысле слова ( как, например, аксиома математической индукции, в которой Пуанкаре видел источник плодотворности математики и подтверждение высказанного Кантом тезиса о том, что математические суждения ( 7 512) суть априорные синтетические суждения), но и логические аксиомы. [2]
Синтетический характер математического метода проявляется также в выборе аксиом, причем имеются в виду не только математические, но и логические аксиомы. Законы логики - это принципы, которыми руководствуются при умозаключениях и которые дальнейшему анализу на подлежат, в отличие от математических аксиом, подвергающихся логическому анализу. Однако не только наличие аксиом составляет характерную черту теоретической математики. Своеобразие математики кроется в вводимых ею определениях, которые, по существу, сводятся к тому, что вместо определенной комбинации старых символов используется один новый символ. Это позволяет сократить формулировки утверждений, содержащихся в теоремах, которые в противном случае были бы трудно обозримыми. Формализм математического метода основан на том, что в математических рассуждениях разрешается использовать понятия лишь в том смысле, какой вложен в них определением. Приписывать какой-нибудь другой, не содержащийся в определении смысл, запрещается. Более того, из самого определения исключается все то, что может допустить неоднозначное толкование. [3]
Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так п построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события п его вероятности. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности. [4]
Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения из нее дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятий случайного события п его вероятности. При этом стремятся, однако, к другой цели, а именно, по возможности к наиболее тесному смыканию математической теории с эмпирическим возникновением понятия вероятности. [5]
Аксиоматизация основ теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. [6]
Вы уже знакомы с аксиомами планиметрии. Выбор аксиом для любого раздела науки-трудное и ответственное дело. Прежде всего надо, чтобы аксиомы отражали действительно простейшие, основные связи между понятиями, которые не вызывают сомнений и которые можно положить в фундамент строящейся теории. В то же время число аксиом должно быть достаточным для того, чтобы выводить из них новые содерж ательные утверждения. Наконец, аксиомы не должны приводить к противоречивым утверждениям. [7]
Вторгшаяся формула буквально отравила систему. Эта хрупкость присуща не только исчислению высказываний, но распространяется на большинство формальных систем. Тем самым она угрожает и предостерегает: логик будет осторожен при выборе аксиом и правил вывода, зная о санкциях за каждую ошибку такого рода. [8]
Правила вывода должны быть заданы так, чтобы на любых исходных данных обеспечить правильность логических заключений. Алфавит и аксиоматика должны быть заданы так, чтобы гарантированно обеспечить осмысленность ( семантику) получаемых заключений и промежуточных следствий. Таким образом, основное различие в логических теориях, представленных на рис. 12, а, состоит в выборе аксиом и определении правил вывода. Далее мы последовательно рассмотрим аксиоматику и правила вывода логических моделей. [9]
Человек обычно пытается спланировать доказательство, рисуя диаграммы и делая наброски доказательства, прежде чем выписать все подробно. Может оказаться, что необходимо аксиоматизировать информацию о том, какие аксиомы наиболее полезны. В [9] такой прием был успешно применен к Прологу для того, чтобы проводить доказательства в пространстве планирования, а затем использовать результаты для построения скелета доказательства и выбора использованных аксиом и подстановок, а также их порядка. [10]
Вероятно, нет такой науки, в которой логика применялась бы в большей мере, чем в математике. Все предложения, если они не приняты за аксиомы, строго доказываются. Самый выбор аксиом также логически обосновывается: ищутся доказательства непротиворечивости, полноты, часто и независимости аксиом. [11]