Cтраница 1
Тригонометрическое интерполирование аналогично интерполированию при помощи степенных полиномов. [1]
Тригонометрическое интерполирование полностью свободно от этого специфического недостатка. Колебания ошибки не имеют тенденции возрастать к концам промежутка, а сохраняют один и тот же порядок величины на всем промежутке. Таким образом, тригонометрическая форма интерполяции как с аналитической, так и с практической точки зрения значительно превосходит полиномное интерполирование по заданным значениям, соответствующим равноотстоящим точкам. [2]
Неудобством тригонометрического интерполирования функции f ( x), заданной равноотстоящими значениями, является обычно тот факт, что f ( x) сама по себе не является периодической функцией х и делается периодической лишь искусственно. Самое большее, на что мы можем практически рассчитывать. Прерывность высших производных делает получающийся ряд сравнительно слабо сходящимся. Эту слабую сходимость можно устранить при видоизмененной форме ряда Фурье, которая часто оказывается особенно полезной. Пусть f ( x) есть аналитическая функция внутри этого интервала и на его концах, но неизвестны какие-либо другие краевые условия. [3]
Соответствующий результат в случае тригонометрического интерполирования хорошо известен ( Jackson D. Использование тригонометрического интерполирования и формулы (9.19) рассматривается по Бродецкому. [4]
Трудно переоценить важность метода тригонометрического интерполирования равноотстоящих данных. Он создает возможность использования мощного орудия гармонического анализа для трудных функций, для которых коэффициенты Фурье в их первоначальном определении, как определенные интегралы [ см. (2.2) ], не могут быть вычислены. [5]
Проблема интерполирования посредством многочленов эквивалентна проблеме тригонометрического интерполирования; рассмотрим для определенности эту последнюю. [6]
Указанные формулы применимы, очевидно, к тригонометрическому интерполированию при равноотстоящих узлах. [7]
Если речь идет о преобразовании Фурье для эмпирически заданной функции, то коэффициенты ck, c k этого разложения могут быть получены с помощью тригонометрического интерполирования ( ср. Тогда представление тригонометрическим рядом будет, конечно, неточным. Однако достаточно знать максимум абсолютной ошибки Е этого разложения в любой точке единичной окружности. [8]
Формула ( 1) Балле Пуссена, так же как и ее преобразование, сходится к функциям той же природы, что и формула тригонометрического интерполирования с равноотстоящими координатами. [9]
Если речь идет о преобразовании Фурье для эмпирически заданной функции, то коэффициенты ck, c k этого разложения могут быть получены с помощью тригонометрического интерполирования ( ср. Тогда представление тригонометрическим рядом будет, конечно, неточным. Однако достаточно знать максимум абсолютной ошибки s этого разложения в любой точке единичной окружности. [10]
Соответствующий результат в случае тригонометрического интерполирования хорошо известен ( Jackson D. Использование тригонометрического интерполирования и формулы (9.19) рассматривается по Бродецкому. [11]
В учебных книгах по математическому анализу доказывается), что семейство тригонометрических многочленов Тп ( х) является полным в классе непрерывных л-периодических функций. Поэтому можно предполагать, что тригонометрическое интерполирование при надлежащем выборе узлов должно в широком классе случаев позволить достаточно точно интерполировать непрерывные периодические функции. [12]
Одномерная последовательность коэффициентов заменяется треугольной матрицей коэффициентов. Но эта замена простого сложным может дать простоту в другом отношении. Например, обычно не берущиеся в конечном виде определенные интегралы, необходимые для вычисления коэффициентов Фурье, могут быть заменены легко вычисляемыми суммами, которые требуются при тригонометрическом интерполировании. Кроме того, тригонометрические разложения могут быть распространены на класс функций, который гораздо шире класса абсолютно интегрируемых функций ( ср. Эти ряды отличаются от рядов Фурье характером аппроксимирования, но не степенью точности, которая остается неабсолютной, но произвольно большой точностью во всех случаях, когда ряды вообще сходятся ( ср. [13]