Cтраница 2
Уравнение ( 1) в том виде, как оно записано, не имеет классического смысла. Но есть несколько способов стандартной интерпретации этого уравнения. [16]
Интуитивно ясно, что предложение (9.5) в этой интерпретации ложно, поскольку в соответствии с интерпретацией оно утверждает, что произведение двух и трех равно пяти. V, поскольку в стандартной интерпретации оно утверждает, что сумма двух и трех равна пяти. [17]
Можно говорить о двух аспектах связи между динамическими и статистическими закономерностями: 1) законы поведения отдельных объектов динамические, а при соединении большого числа их в совокупность возникает статистическая закономерность; 2) законы поведения отдельного объекта статистические, динамическая же закономерность проявляется при их усреднении для системы объектов. Первая сторона связи соответствует стандартным интерпретациям ( см. § 5) статистической физики. [18]
Лейонхуфву тельно объявил, что стандартная интерпретация теории Кейнса до ходов-расходе в) не только не развила, а отвергла главные элеме теории. [19]
Сила исчисления предикатов состоит в том, что в этом языке имеются хорошо изученные интерпретации для выражения многих из высказываний. Законы Моргана дают пример преобразований, сохраняющих смысл при любой стандартной интерпретации. [20]
О - Зух - у) является теоремой теории Z, и ее включение в качестве нелогической аксиомы теории Z не является необходимым. Подобно аксиомам теории Q, все аксиомы индукции истинны в стандартной интерпретации Af, и, следовательно, Z непротиворечива. Очевидно, Z является аксиоматизируемым расширением теории Q. Не будучи полной, теория Z тем не менее ввиду наличия аксиом индукции является значительно более сильной теорией, нежели Q: так, например, все предложения, перечисленные в упр. [21]
Эта теорема впоследствии была наполнена следующим более общим смыслом: какова бы ни была система аксиом формальной арифметики, удовлетворяющая некоторым разумным ( см. ниже) требованиям, существует истинная в стандартной интерпретации замкнутая формула, не выводимая из этой системы аксиом. Разумные требования состоят в следующем: 1) каждая аксиома истинна в стандартной интерпретации; 2) существует алгоритм, распознающий по любой замкнутой формуле рассматриваемой сигнатуры, является ли она аксиомой или нет. [22]
Мы знаем, что существует по крайней мере одна модель арифметики, Л /, стандартная интерпретация языка L арифметики. Разумеется, тот факт, что Л / является моделью арифметики, верен по определению: арифметика как раз и является множеством предложений языка L, истинных в ЛЛ Зададимся вопросом, является ли Л / единственной - хотя бы в каком-то разумном смысле - моделью арифметики. [23]
Дальнейшее объяснение связано с тем, что сообщаемое, подразумеваемое или отрицаемое каким-либо предложением является функцией интерпретации ( и даже способа, которым эта интерпретация описана), относительно которой рассматривается это предложение, в не меньшей степени, чем символов, из которых оно построено. Можно понимать ( 2) как утверждение: существует несчетно много множеств, если считать, что его кванторы пробегают совокупность, содержащую все числа и все числовые множества, как в области стандартной интерпретации X. Однако если кванторы в ( 2) пробегают иные области, в частности счетные, то предложение ( 2) нельзя понимать таким образом. Предложение ( 2) - последовательность символов, так обозначенная, - говорит что-либо только тогда, когда фиксирована некоторая интерпретация. Может показаться удивительным или даже смешным, что ( 2) истинно во всех типах интерпретаций, включая, возможно, некоторые подинтерпретации J интерпретации 1 со счетными областями, но не должно казаться a priori невозможным, что оно истинно в них. Для таких интерпретаций, как J, оно лишь утверждает, что область J не содержит нумератора для множества всех числовых множеств из Jt, что, разумеется, верно. [24]
Сейчас мы докажем, что функции, вычислимые программами с конечным числом переменных, арифметич-ны, то есть их графики являются арифметическими множествами. В этом разделе мы вновь предполагаем некоторое знакомство читателя с логическими обозначениями, и будем рассматривать арифметические формулы, содержащие переменные по натуральным числам, равенство, константы 0 и 1, операции сложения и умножения, логические связки ( И, ИЛИ, НЕ) и кванторы для всех и существует. Говоря об истинности таких формул, мы имеем в виду их истинность в стандартной интерпретации, носителем которой является множество N натуральных чисел. [25]
Когда человек добивается очень большого успеха на каком-то пути, он начинает думать, что для решения всех других задач нужно продвигаться все дальше и дальше в том же направлении. К стандартной интерпретации квантовой механики он относился враждебно. [26]
Теорема 15.6, таким образом, является уточнением приведенной выше трактовки теоремы Геделя в том смысле, что она указывает достаточное условие достаточной силы, а именно быть расширением теории Q. Из теоремы 15.6, таким образом, следует, что любая непротиворечивая математическая теория, теоремами которой являются в точности все следствия некоторого эффективно описываемого множества аксиом, среди которых - семь аксиом теории Q, неполна; значит, для любой интерпретации языка такой теории существуют истинные в этой интерпретации утверждения, не являющиеся теоремами этой теор ии. И, возможно, наиболее значительным следствием теоремы 15.6 является то, что она говорит о соотношении понятия истинности формулы ( в стандартной интерпретации языка арифметики) и понятия быть теоремой или доказуемой формулой ( в любой конкретной формальной теории): эти понятия ни в каком смысле не совпадают. [27]