Cтраница 1
Вывод уравнения Фоккера - Планка для различных случайных процессов проводится одинаково. [1]
Вывод уравнения Фоккера - Планка при таком подходе носит феменоло-гический характер. Сам по себе он не позволяет найти явный вид коэффициентов из формул (7.4) и (7.5), до тех пор пока явно не проанализирована роль рассеивателей. Для того чтобы найти фигурирующие в уравнении Фоккера - Планка средние величины, необходимо рассмотреть динамическое поведение рассеивателей. Эта задача может быть выполнена в результате анализа физического смысла выражений (7.4) и (7.5) и формального вычисления этих величин в приближении дискретного взаимодействия. Средние значения изменений скорости являются по существу средними по ансамблю и по времени и определяются силами, которые действуют между электроном и рассеивателями. Поэтому эти величины должны выражаться через интеграл столкновений с соответствующим сечением рассеяния взаимодействующих частиц. Рассматривая только изменения скоростей электронов, мы обнаруживаем, что интегрирование по вероятностям перехода р эквивалентно интегрированию по вероятностям столкновений электрона с рассеивателями, умноженными на функцию распределения рассеивателей. [2]
При выводе уравнения Фоккера - Планка из уравнения Лан-жевена в гл. [3]
Последовательный, но громоздкий вывод уравнения Фоккера - Планка из уравнения ( 1) можно обойти, если учесть, что искомое уравнение должно описывать диффузию по энергетическим уровням. [4]
В § 7.1 введены основные понятия теории кулоновских столкновений и дан вывод уравнения Фоккера - Планка с векторными и тензорными коэффициентами. Эти коэффициенты вычислены в § 7.2 для простого случая столкновений электронов с ионами. Возникающие интегралы обрезаются на верхнем пределе. В § 7.3 дан анализ физическим предпосылкам такого обрезания, связанного с обобщенным уравнением Фоккера - Планка, а также необходимые в некоторых случаях другие возможные эквивалентные соотношения. В § 7.4 - 7.6 уравнение Фоккера-Планка рассмотрено при произвольном соотношении масс заряженных частиц. [5]
Такие взаимодействия вызывают суперпозицию большого-малых сил и хорошо описываются столкновительным членом Фоккера - Планка. Такое истолкование мотивировано предшест - Бующим выводом уравнения Фоккера - Планка из уравнения Зольцмана, если учесть, что последнее получается из уравнения Лиувилля методом Трэда. Там, как мы помним, область столкно-яения была разделена на две зоны: ближнюю и дальнюю. Первая йз них приводит к уравнению Больцмана, вторая ( самые дальние-столкновения) дает уравнение Власова. Радиус сферы, которая разделяет две зоны - это радиус Дебая, так что для столкновений внутри этой сферы применимо уравнение Больцмана. Для дальних столкновений в пределах этой сферы мы получаем уравнение Фоккера - Планка. [6]
Фоккера - Планка определение одномерных статистических характеристик процесса х сводится к квадратурам. Перед тем, как приступить к выводу уравнения Фоккера - Планка, отметим некоторые свойства условных средних, которые непосредственно вытекают из уравнения для х и б-корреляции его коэффициентов. [7]
При другом подходе к выводу кинетического уравнения для кулоновского газа исходят из того факта, ЧТОБ этом случае доминирующую роль играют дальние столкновения. Этот факт положен в основу двух наиболее известных выводов уравнения Фоккера - Планка. [8]
Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А ( у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В ( у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера - Планка и, следовательно, для вычисления флуктуации достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику. [9]
Первая часть содержит основные положения теории. Ее задача - предоставить физику и химику логически последовательное и достаточно полное изложение основ теории на понятном им языке. При этом глубокое интуитивное понимание материала считается более важным инструментом исследования, чем математическая строгость и общность. Физические системы в лучшем случае лишь приближенно удовлетворяют математическим условиям, на которых основаны строгие доказательства, и физик должен постоянно сознавать приближенность своих выкладок. К примеру, колмогоровский вывод уравнения Фоккера - Планка ничего не говорит о том, к каким реальным системам приложимо это уравнение. Физику также не нужны самые общие формулировки, но глубокое понимание частных случаев позволит ему, когда в этом возникнет необходимость, распространить теорию на новые примеры. В соответствии с таким мнением теория в этой книге развивается в тесной связи с многочисленными приложениями и примерами. [10]
В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больц-мана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем 0-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука - Бхатнагара - Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера - Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена - Колмогорова. Фоккера - Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях - уравнениях Ландау и Балеску - Ленарда. [11]