Cтраница 1
Формальные выводы, появляющиеся в гл. В этой главе мы доказываем, что для этих тестов не существует дополнительных - позитивного для выполнимости и негативного для общезначимости - и потому в логике первого порядка проблемы распознавания как общезначимости, так и выполнимости неразрешимы. [1]
Следует подчеркнуть, что все это чисто формальные выводы, строго следующие нз уравнения Лиувилля в пределе при / V - -, V - oo, отношение N / V конечно; они получаются при помощи только интегрирования и подобающего истолкования средних значений. Никаких предположений не делается. В результате возникает общая, но малосодержательная схема. Эта схема малосодержательна потому, что система уравнений не замкнута. Уравнения ( 11), ( 12) и ( 13) не образуют систему уравнений движения относительно макроскопических величин р, и и Q, поскольку они содержат величины Pfj и q, зависимость которых от макроскопических переменных неизвестна. [2]
Однако, используя только что построенные нами формальные выводы, утверждение о выполнимости g можно усилить до установления некоторого дедуктивного факта, касающегося арифметического формализма. [3]
С другой стороны, если мы стоим на содержательной точке зрения, то формальные выводы в ( 3) должны истолковываться как изображения правильных с содержательной точки зрения рассуждений, и потому ввиду связи, установленной между формализмами ( Z) и ( 3), непротиворечивость системы ( Z) становится для нас очевидной. [4]
Прежде чем воспользоваться этими тождествами для целей, которые мы имеем в виду, заметим, что формальные выводы, путем которых мы к ним пришли, фактически не зависят от предположения, что лагранжевы координаты q независимы, и остаются в силе даже тогда, когда число этих координат больше числа степеней свободы, как это имеет место, когда координаты должны удовлетворять уравнениям кинематических связей. [5]
Нужно иметь в виду, что это было время, когда традиции Эйлера были очень сильны и формальные выводы ценились высоко. Лобачевский с удовлетворением констатирует, что ему удалось привести некоторые интегралы к эллиптическим интегралам того или иного рода или к функциям, которые просто развертываются в тригонометрические ряды. [6]
В силу теоремы о полноте 3.1 все приведенные в 4.1 формулы доказуемы в интуиционистском пропозициональном исчислении высказываний У, т.е. имеют формальные выводы из аксиом ( Ti) - ( Тн) посредством modus ponens. [7]
На примере теории электромагнитного поля Максвелла мы сталкиваемся с поразительным фактом: одно из величайших достижений физической теории оказывается почти целиком математическим. Некоторые формальные выводы этой теории, такие, как индуцирование тока в проводниках или прием сигнала за тысячи километров от источника, подтверждаются нашим чувственным опытом, но суть теории сама по себе остается чисто математической. [8]
Далее мы будем пользоваться элементарными свойствами примитивно рекурсивных функций и отношений, не выводя их фактически в НА. Предполагается, что читатель имеет определенный опыт в технике вывода, и мы игнорируем формальные выводы в тех случаях, когда известные элементарные доказательства непосредственно формализуются в НА. В более сложных случаях мы будем приводить более или менее подробное содержательное рассуждение, оставляя его формализацию читателю. [9]
Круг рассуждений, проводимых о формализмах, ог раниченный пределами финитизма, называется метало-гикой. Следует строго различать содержательные выводы, которые делаются при доказательстве различных, утверждений, касающихся исчисления, и формальные выводы самого исчисления, представленные в виде операций над конфигурациями и рассматриваемые только в качестве таковых. Символы, не принадлежащие к числу тех элементов, из которых составляются конфигурации, а введенные для обозначения каких-либо понятий, касающихся исчисления, часто называют металогическими символами. [10]
Ее основное физическое содержание состоит в том, что при столкновении молекул образуется комплекс или, как это принято говорить в ядерной физике, составная система. Движение атомов в комплексе управляется вероятностными законами при дополнительных ограничениях, налагаемых общими и строгими динамическими законами сохранения. Этого предположения достаточно, чтобы формальные выводы общей теории столкновений сформулировать в виде простых результатов, пригодных для расчета сечений широкого класса элементарных процессов. Таким образом, статистические модели заслуживают, по нашему мнению, специального отдельного рассмотрения как одно из приближений динамики элементарных реакций. [11]
Мы будем понимать это в том смысле, что для обоснования метаматематического умозаключения приходится обращаться в конечном счете к смыслу и очевидности, а не к какому-либо множеству условно принятых правил. На практике это не помешает нам систематизировать наши метаматематические результаты как теоремы или правила, которые можно будет затем применять квазиформально для сокращения содержательных рассуждений. Иногда мы будем ссылаться даже на формально установленные принципы ( интуиционистской) логики, причем формальные выводы этих принципов будут указывать метод, посредством которого рассуждение может быть проведено содержательно. [12]
Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковского-Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для различения между рынками капитала с существованием и без существования возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража является существование ценового вектора как линейной комбинации линейно независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то возможны арбитражные прибыли. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы. [13]
Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковского-Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для различения между рынками капитала с существованием и без существования возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража является существование ценового вектора как линейной комбинации линейно независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то возможны арбитражные прибыли. Мы хотим изобразить лемму графически и вынуждены для этой цели провести некоторую подготовительную работу. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы. [14]