Cтраница 3
Из одних высказываний различными способами можно строить новые более сложные высказывания. Способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором истинностное значение сложного высказывания полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний, называется логической операцией. [31]
Таким образом, в программу нужно включить правило выполнения отрицания составных высказываний и правило, которое понимало бы, что дизъюнкты вроде Т А) в действительности являются предположениями. Составное выражение Т ( А) v T ( B) будем обрабатывать, предположив Т ( А), и проанализируем, нет ли в нем противоречия. В противном случае Т ( В) образует часть совместимой интерпретации исходного высказывания. [32]
Каждому высказыванию р можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание р ложно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием. Например, для высказывания число 6 простое отрицание можно построить так: число 6 не простое, или неверно, что число 6 простое, или число 6 составное. В данном случае исходное высказывание ложно, поэтому его отрицание истинно. [33]
Большая часть этой книги будет посвящена наиболее элементарному разделу математической логики, который носит название алгебра логики. Другое часто употребляемое название - алгебра высказываний - связано с очень важной интерпретацией этой теории, с которой мы начнем наши рассмотрения. В алгебре высказываний рассматриваются некоторые вопросы, связанные с образованием сложных высказываний. Если у нас имеется несколько высказываний, то при помощи логических связок и отрицаний из них можно образовать различные новые высказывания. При этом исходные высказывания принято называть простыми, а вновь образованные высказывания - сложными. Эти названия не носят абсолютного характера, так что высказывание, которое в одной ситуации мы считаем простым, в другой может рассматриваться как сложное, и наоборот. [34]
Совпадение интересов братьев Бернулли и Буля вполне понятно: все они интересовались алгеброй логики, возможностью представить в алгебраической форме рассуждения, высказывания. А булевы алгебры специально приспособлены к этой цели. Высказыванием в математической логике называют предложение, которое может быть верно или ложно. При этом в логике не интересуются вопросом, верно или ложно данное высказывание на самом деле. Там обсуждают лишь проблему, по каким правилам можно из данных высказываний получать более сложные и как из знания истинности или ложности исходных высказываний выводить истинность или ложность сложных высказываний. [35]
Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А ложно, Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием высказывания А. В высказывании А говорится, что А ложно. Например, для высказывания число 8 простое отрицание можно построить так: число 8 не простое, или неверно, что число 8 простое или число 8 составное. В данном случае исходное высказывание ложно, поэтому его отрицание истинно. [36]
Аксиоматические теории часто исходят из некоторых интуитивных теорий. В качестве примеров сразу приходят в голову такие теории, как арифметика, механика, теория вероятностей и геометрия, развиваемые обычно на интуитивной основе. После того, как интуитивная теория развита настолько, что ее основные свойства считаются известными, тогда уже можно рассчитывать ( или хотя бы попытаться) ее аксиоматизировать. Первым шагом в этом направлении является перечисление основных объектов, кладущихся в основу рассматриваемой теории, и основных свойств, которыми обладают эти объекты. Затем в качестве имен для этих выбранных объектов вводятся какие-нибудь символы ( в частности, такими символами могут быть и слова), после чего выбранные нами основные свойства избранных объектов записываются с помощью отобранных символов. Символы эти носят название первичных терминов ( или символов) формализуемой теории, а исходные высказывания, составленные из них, - аксиом данной теории. Теперь в рамках некоторой фиксированной системы логики выводятся теоремы. Одно из требований, предъявляемых к аксиоматической теории, состоящее в том, что понятие истинности не должно в ней явным образом использоваться, удовлетворяется благодаря тому, что первичные термины не определяются, а аксиомы понимаются просто как исходный список теорем. Степень успешности аксиоматизации какой-нибудь интуитивной теории определяется числом теорем, которые ( после приписывания входящим в их формулировки первичным терминам интуитивно подразумеваемых значений этих терминов) обращаются в истинные - с точки зрения наших знаний-утверждения. Осуществление такой программы аксиоматизации интуитивной теории допускает довольно значительный произвол в выборе основных понятий, и фактически отбираемые понятия часто очень отличаются друг от друга. Гильберта, имеется шесть первичных терминов: точка, прямая, плоскость, инцидентно, между и конгруэнтно. [37]
Каждому высказыванию А можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что высказывание А ложно. Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следовательно, само является высказыванием. Это новое высказывание обозначают через А и называют отрицанием высказывания А. В высказывании А говорится, что А ложно. Например, для высказывания число 8 простое отрицание можно построить так: число 8 не простое, или неверно, что число 8 простое или число 8 составное. В данном случае исходное высказывание ложно, поэтому его отрицание истинно. [38]