Cтраница 1
Высота треугольной пирамиды равна h, сумма девяти плоских углов при всех вершинах основания равна а. Известно, что существует шар, касающийся всех боковых граней в точках пересечения их медиан. Доказать, что пирамида правильная. [1]
Высота треугольной пирамиды разделена пополам, через точку деления проведена плоскость, параллельная основанию. На основании ( от основания до сечения) и на сечении ( от сечения до вершины) построены две наклонные призмы, высоты которых равны половине высоты пирамиды, а ребра параллельны одному из ребер пирамиды. [2]
Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника, лежащего в основании, то противоположные ребра пирамиды перпендикулярны. Справедливо и обратное утверждение. [3]
Докажите, что если одна высота треугольной пирамиды попадает в точку пересечения высот противоположной грани, то все четыре высоты пересекаются в одной точке. [4]
Особенно важны рассматриваемые нами понятия для правильного представления геометрических фактов нрн решении разнообразных задач на пирамиды. В частности, очень полезна следующая теорема, касающаяся цроизвояьной треугольной пирамиды ( рис. 61): высота SH треугольной пирамиды SABC проходит через высоту AD основания в том и только в том случае, когда боковое ребро SA перпендикулярно к ребру основания ВС. Легко видеть, что это утверждение есть просто иная формулировка все той же-теоремы о трех перпендикулярах: SH и ЗА - перпендикуляр и наклонная к плоскости основания ABC, а ВС - третья прямая. Следующая задача, которую не смогли решить большинство поступающих, с помощью этой теоремы решается сразу. [5]
Особенно важны рассматриваемые нами понятия для правильного представления геометрических фактов при решении разнообразных задач на пирамиды. В частности, очень полезна следующая теорема, касающаяся произвольной треугольной пирамиды ( рис. 61): высота SH треугольной пирамиды SABC проходит через высоту AD основания в том и только в том случае, когда боковое ребро SA перпендикулярно к ребру основания В С. Легко видеть, что это утверждение есть просто иная формулировка все той же теоремы о трех перпендикулярах: SH и SA - перпендикуляр и наклонная к плоскости основания ABC, а ВС - третья прямая. Следующая задача, которую не смогли решить большинство поступающих, с помощью этой теоремы решается сразу. [6]
А на другой прямой / 2 провести плоскость я; доказать, что точку А можно выбрать так, что плоскость я и третья прямая / з не параллельны. Провести прямую L через точку А и точку пересечения прямой 13 с плоскостью я; доказать, что точку А можно выбрать так, что прямые L и I, не параллельны. Заметить, что общий перпендикуляр равен высоте треугольной пирамиды, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через концы трех его ребер, сходящихся в одной вершине. От 0 до я независимо от величины данного двугранного угла. [7]
А на другой прямой 1г провести плоскость я; доказать, что точку А можно выбрать так, что плоскость я и третья прямая / з не параллельны. Провести прямую L через точку Аи точку пересечения прямой 13 с плоскостью я; доказать, что точку А можно выбрать так, что прямые L и /, не параллельны. Дяг 2 и 2 / зв г 2 - Заметить, что общий перпендикуляр равен высоте треугольной пирамиды, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через концы трех его ребер, сходящихся в одной вершине. От 0 до я независимо от величины данного двугранного угла. [8]