Cтраница 2
Последний заключается в том, что движение тела и действующие на него силы относят к некоторым неподвижным в пространстве направлениям. Если для определения места тела в пространстве принять три прямоугольные координаты, имеющие указанные направления, то, очевидно, изменения этих координат выразят пути, пройденные телом по направлениям этих координат; следовательно, их вторые дифференциалы, разделенные на квадрат постоянного дифференциала времени, выразят ускоряющие силы, которые должны действовать по направлению этих координат. Таким образом, если эти выражения приравнять выражениям сил, заданных условиями задачи, мы получим три аналогичных уравнения, которые и послужат для определения всех обстоятельств рассматриваемого движения. Этот прием составления уравнений движения тела, находящегося под действием каких-либо сил, путем сведения этого движения к прямолинейным движениям, следует благодаря его простоте предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы возникнуть раньше других, однако в действительности, повидимому, только Маклорен ( Maclaurin) впервые применил его в своем сочинении О. В настоящее время он является общепринятым. [16]
Чтобы отличить одновременные контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени dt равен нулю. [17]
А - так называемая полная вариация, определяемая ниже. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место при движении системы. Поэтому движение, получающееся в результате б-вариации, может быть таким, что гамильтониан его не будет постоянным. Поэтому траектория, образующаяся при А-вариации, состоит из точек, получающихся в результате перемещений, обусловленных также дифференциалами времени. [18]
Английские геометры, по крайней мере большей частью, приняли эту идею г. Ньютона и его характеристику; однако характеристика г. Лейбница, состоящая в той, что впереди ставится А, представляется более удобной и менее подверженной ошибке. Буква) d видна лучше и при печатании меньше забывается, чем простая точка. С точки зрения метода, если рассматривать как флюксии то, что г. Лейбниц называет разностью [6], то несомненно, что он более правилен и более строг. Однако, мне кажется, еще проще и точнее рассматривать разности или, скорее, отношение разностей как предел отношения конечных разностей, как это разъяснено под словом Дифференциал. Вводить здесь движение - это вводить чуждую тут идею, вовсе не требующуюся для доказательства: впрочем, нет достаточно четкой идеи о том, что такое скорость тела в каждое мгновение, когда эта скорость переменная. Но когда движение переменное, это уже более не отношение пространства ко времени, это отношение дифференциала пространства к дифференциалу времени; отношение, о котором нельзя составить четкой идеи иначе чем с помощью идеи пределов. Таким образом, для того чтобы дать четкую идею флюксий, необходимо вернуться к этой последней идее. Впрочем, исчисление флюксий абсолютно такое же, как дифференциальное исчисление; смотрите поэтому слово Дифференциал, где операции и метафизика этого исчисления разъяснены саиыи простым и самым ясным образом. [19]
Варьяции дх в таком только случае будут связаны между собою уравнение ( а), когда ddt 0; но этого Лагранж не предполагает, что ясно видно из формулы, находящейся в конце стр. Лагранж в самом начале своего доказательства б J заменяет J б и через то предполагает, что пределы интеграла остаются без варьяции; следовательно, он мысленно относит интегрирование к такой переменной, варьяция которой равна нулю как для пределов интеграла, так и для промежуточных значений. Эта переменная не есть время, потому что d dt не равен нулю; но можно для нее взять одну из координат, как делает Якоби, или некоторую определенную функцию главных переменных, заменяющих координаты. Вследствие этого варьяции этих переменных будут связаны линейным уравнением, помощью которого можно исключить из момента потерянных сил, находящегося под знаком интеграла в результате Лагранжа, одну варьяцию, после чего мы вправе будем приравнять нулю коэффициенты у остальных варьяции; от этого получатся уравнения, число которых будет одним меньше числа всех уравнений динамики; но это недостающее уравнение дополняется уравнением живых сил. То же заключение относится и к результату, получаемому Якоби ( Vorlesungen uber Dynamik, стр. Якоби для большей легкости исключает дифференциал времени под знаком интеграла, выражающего действие, помощью уравнения живой силы и относит интегрирование к одной из координат. Такое преобразование интеграла, выражающего действие, было доказано Лиувил-лем) прежде появления в свет лекций Якоби о динамике. [20]