Cтраница 1
Высшие дифференциалы используются для уточнения вопроса о поведении функции в окрестности данной точки. [1]
Итак, вторые и высшие дифференциалы зависят от порядка, которому взаимно подчинены дифференциалы переменного количества х, а этот порядок является произвольным. Первые же дифференциалы этим условием не стеснены. Поэтому между дифференциалами первого порядка и дифференциалами последующих порядков в отношении их разыскания существует огромное различие. [2]
После подстановки этих значений высших дифференциалов, иред-ложеннос выражение примет такой вид, что в кем уже не будет содержаться больше никаких высших дифференциалов, и мы избавляемся от необходимости рассматривать какой-либо дифференциал как постоянное количество. В самом деле, так как после выполнения этого преобразования больше нет вторых дифференциалов, то и пот необходимости вспоминать о том, какой дифференциал прежде был принят за постоянное количество. [3]
Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых выполняется условие (II.2), называют стационарными точками, а значения функции в них - стационарными. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным, тогда функция не имеет ни минимума, ни максимума. [4]
Независимо от знаков второго и высших дифференциалов все точки, в которых выполняется условие ( 2), называются стационарными точками, а значения функции в них - стационарными значениями. В стационарной точке второй дифференциал может оказаться ни положительно, ни отрицательно определенным; в такой стационарной точке функция не имеет ни минимума, ни максимума. [5]
Поэтому мы покажем, как нужно в этом случае исключать вторые и высшие дифференциалы. Тем самым станет ясно, как решается такой же вопрос, если нужно будет принять за постоянное какой-нибудь другой дифференциал. [6]
После подстановки этих значений высших дифференциалов, иред-ложеннос выражение примет такой вид, что в кем уже не будет содержаться больше никаких высших дифференциалов, и мы избавляемся от необходимости рассматривать какой-либо дифференциал как постоянное количество. В самом деле, так как после выполнения этого преобразования больше нет вторых дифференциалов, то и пот необходимости вспоминать о том, какой дифференциал прежде был принят за постоянное количество. [7]
Если же форма d2f ( a) вырождается ( например, тождественно обращается в 0), то можно опять-таки попробовать рассмотреть высшие дифференциалы. [8]
Отсюда ясно, - что если кривую варьировать только в одной точке, то получаются значительные отклонения от правил дифференцирования, поскольку тогда высшие дифференциалы вариации не исчезают по сравнению с низшими, а могут иметь одно и то же значение; кроме того, вариации количеств р и q возрастают до бесконечности, если бесконечно малые ох и 8г / считать того же порядка, что и дифференциалы dxvidy. Отсюда следует, что в этом исчислении - надо быть настороже, чтобы не допустить ошибок, так как правила исчисления опираются на закон непрерывности, согласно которому кривые линии описываются непрерывным движением точки так, чтобы нигде не получался скачок кривизны. [9]
Из этих примеров становится достаточно ясным, каким образом в каждом представляющемся случае, если какой-нибудь первый дифференциал принимается за постоянное, нужно исключать вторые и высшие дифференциалы. [10]
Создатели анализа бесконечно малых Ньютон и Лейбниц использовали дифференциалы высшего ( второго) порядка, составляя и решая обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее рассмотрение высших дифференциалов было предпринято Эйлером ( 1730), а окончательно обосновано ( с помощью теории пределов) Коши спустя век. [11]
Из предыдущего ясно, что функция у в случае х а будет максимумом или минимумом, есла п б дет числом четным; действительно, если Р при хп есть по южительное количество, то у будет минимумом; если же Р есть отрицательное количество, то у будет максимумом. Мы видим, что таким способом максимумы и минимумы находятся гораздо легче, чем вышеизложенным методом, ибо нет нужды переходить к высшим дифференциалам. [12]
Если никакой из дифференциалов мы не принимаем за постоянное количество, то мы не устанавливаем никакого закона, по которому следовали бы друг за другом значения переменных. Поэтому вторые и следующие дифференциалы будут неизвестны и не будут обозначать ничего определенного. Выражение, в котором будут содержаться вторые и высшие дифференциалы, не будет иметь никакого определенного значения, пока какой-либо дифференциал не будет предположен постоянным; до этого значение его останется неопределенным и будет меняться, смотря по тому, положим ли мы постоянным тот или другой дифференциал. Однако существуют такие выражения, содер кащие вторые дифференциалы, которые даже в том случае, если ни один из дифференциалов мы не будем считать постоянным, все же будут иметь определенное значение, которое останется одним и тем же, какой бы дифференциал мы ни положили бы постоянным. Свойства таких выражений мы в дальнейшем рассмотрим более обстоятельно и укажем, как отличать их от тех, которые не имеют определенных значений. [13]
Подобным образом если формула содержит два или большее число переменных и если в нее входят дифференциалы второго или кысших порядков, то она, очевидно, не может иметь определенного значения, пока какой-нибудь дифференциал не будет положен постоянным. Исключение составляют только некоторые случаи, которые мы сейчас разберем. Действительно, если в некоторую формулу входит d x, то, поскольку значение d x меняется каждый раз, как тот или иной дифференциал полагается постоянным, не может быть, чтобы формула имела одно определенное значение. То же имеет место и для какого-либо дифференциала высшего порядка количества х, а также для вторых и высших дифференциалов остальных переменных. Однако если в формулу входят вторые дифференциалы двух или большего числа переменных, то может оказаться, что непостоянство, порождаемое одним, уничтожается непостоянством остальных. [14]