Cтраница 1
Аксиома регулярности в этой книге совсем не используется. R () представляют математический интерес. [1]
Аксиома регулярности выражает несколько иное свойство множеств, чем то, которое было обозначено нами 7), а именно: в каждом множестве есть наименьший по принадлежности элемент. [2]
Из аксиомы регулярности следует, что каждое множество получается на некотором шаге регулярного процесса образования множества всех подмножеств, начинающегося с 0 и подобного построению натуральных чисел из пустого множества по аксиоме бесконечности. Это означает, что любой элемент любого множества является множеством, сконструированным из пустого множества. [3]
Антирефлексивность б следует из аксиомы регулярности, и была уже нами не раз доказана. [4]
Записать в виде формулы аксиому регулярности, или фундирования, которая говорит, что у всякого множества есть минимальный ( с точки зрения отношения G) элемент, то есть элемент, не пересекающийся с самим множеством. [5]
В этом множестве по аксиоме регулярности существует элемент z ( т.к. А не пусто), не имеющий общих элементов с А. [6]
Эквивалентность ( i) с аксиомой регулярности может быть доказана без аксиомы выбора, но для доказательства того, что из ( ii) следует аксиома регулярности, необходима аксиома выбора. [7]
Аксиома, утверждающая, что для любого множества X существует ординал а, для которого X е Va, на зывается аксиомой регулярности. Таким образом, по аксиоме регулярности каждое множество получается на некотором шаге регулярного процесса, при котором, исходя из пустого множества, на каждом шаге получаются все множества, элементы которых уже получены на предыдущих шагах. [8]
Эквивалентность ( i) с аксиомой регулярности может быть доказана без аксиомы выбора, но для доказательства того, что из ( ii) следует аксиома регулярности, необходима аксиома выбора. [9]
Все доказательства неэквивалентности относятся к системе аксиом Цермело - Френкеля теории множеств, которая не исключает существования объектов, не являющихся множествами, и не содержит аксиомы регулярности. [10]
В § 1.7 нами было введено понятие класса как определяемой совокупности множеств. Отметим, что аксиома регулярности ( фундирования) S7, которая наводит достаточно строгий порядок на множествах, была нами сформулирована для множеств. Поэтому возникает вопрос: насколько справедливо подобное утверждение для классов, упорядочены ли они столь же строго как множества. [11]
Аксиома, утверждающая, что для любого множества X существует ординал а, для которого X е Va, на зывается аксиомой регулярности. Таким образом, по аксиоме регулярности каждое множество получается на некотором шаге регулярного процесса, при котором, исходя из пустого множества, на каждом шаге получаются все множества, элементы которых уже получены на предыдущих шагах. [12]
Для доказательства нужно рассмотреть множество A B C D E, которое является множеством как определяемая часть множества Ехр ( А JB JC JD JE), и вновь применить аксиому регулярности. [13]
Такие структуры ( в первую очередь регулярные К-пространства и булевы алгебры) чаще всего встречаются в функциональном анализе и теории меры. Они естественно возникают в задаче продолжения гомоморфизмов и линейных положительных операций. В свою очередь, а) и б) вместе эквивалентны аксиоме регулярности. Lp, 1р оо; булева алгебра mod 0 измеримых множеств произвольного пространства с конечной счетно аддитивной мерой. Другие известные примеры регулярных булевых алгебр основываются на отрицании Суслика гипотезы. [14]
Аксиома регулярности в этой книге совсем не используется. R () представляют математический интерес. Следующий принцип индукции, который может оказаться полезным в теории моделей, является следствием аксиомы регулярности ( ср. [15]