Cтраница 3
Предположим, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме отделимости и любые его два замкнутых дизъюнктных множества функционально отделены. Докажем, что пространство X нормально, для чего достаточно проверить выполнимость четвертой аксиомы отделимости. [31]
В качестве второй аксиомы он излагает закон независимости единовременного действия сил. Третьей аксиомой в рассматриваемом курсе принимается правило параллелограмма сил, причем установлению этого правила предшествует сложение двух сил, действующих по одной прямой. После четвертой аксиомы об абсолютно твердом теле следует теорема о переносе силы вдоль линии ее действия, называемая Котель-никовым принципом перенесения точки приложения силы. Вслед за изложением четырех аксиом помещены элементы векторной алгебры. Выражение проекции вектора на ось в книге дано не как определение, а как теорема. Следующие параграфы посвящены вопросу о сложении сил, приложенных в точке; изложение сопровождается рассмотрением задач. [32]
Он доказал, что теорема Дезарга не выводится из аксиом инцидентности для плоскости. Поэтому теорему Дезарга следует присоединить в качестве четвертой аксиомы к трем аксиомам инцидентности, определяющим проективную, плоскость. Гильберт доказал, что в этой расширенной системе аксиом теорема Паскаля недоказуема. Напротив, как было показано Гессепбергом, при добавлении к аксиомам инцидентности в качестве еще одной аксиомы теорема Паскаля получается система - обозначаемая IP, - в которой теорема Дезарга выводится. [33]
Аксиомы порядка постулируют бесконечность точечного множества в пространстве. Действительно, если взять тетраэдр ( для него выполняются все аксиомы соединения), то по первой аксиоме порядка две вершины разделяют точки ребра на два класса. По второй аксиоме порядка на каждом ребре кроме двух вершин существует еще пара точек, принадлежащих разным классам. Использование четвертой аксиомы вместе с первой дает возможность вторичного применения второй аксиомы для образования новых пар. Этот процесс бесконечен, причем он выполняется не только на ребрах, но и на других прямых, проведенных через новые точки. [34]
Аристотель доказывает первый из этих законов при помощи так называемого выделения, которо-е основывается, как мы позже увидим, на логическом процессе, лежащем вне пределов силлогистики. И так как оно не может быть доказано другим путем, оно должно быть сформулировано в качестве новой аксиомы системы. Обращение посылок вида Л доказывается при помощи квадрата противоположностей, о котором в Первой аналитике вообще не упоминается. Поэтому мы должны принять в качестве четвертой аксиомы или этот закон обращения, или то положение квадрата противоположностей, из которого этот закон следует. Лишь закон обращения посылок вида / может быть доказан без новой аксиомы. [35]
Ядерные дизъюнкты навязывают выполнимость некоторых соотношений. Так, например, ядро, соответствующее аксиоме 4), 1 QM 1 ( Q () EQVAL ( / ( c, х, у), х) требует выполнения соотношения / ( а, а, а) а, где а - один из элементов рассматриваемой частичной модели. Предикат Q означает: является элементом данной модели. Затем применяется правило гиперрезолюции с упомянутым ядром, которое таким образом играет роль теста для проверки того, что все подходящие тройки элементов согласуются с четвертой аксиомой. Аналогичным образом используются остальные ядерные дизъюнкты. [36]