Cтраница 1
Гейфман использовал теоретико-категорный подход вместо того, чтобы использовать понятие функции, действующей на конечном множестве. Независимо Кунен [1970] разработал итерированные ультрастепени, причем по существу тем же способом, как и в нашем изложении в этом разделе, и еще более обобщил их конструкцию для того, чтобы с ее помощью изучать модели теории множеств и измеримые кардиналы. [1]
Я очень благодарен Двингеру, Гейфману, Хейлсу, Хал-перну, Карпу, Маттесу, Пирсу, Семадени и Якубу за ценную информацию, которая очень помогла поднять материал на современный уровень. [2]
Кроме того, куплено за границей ( в США и в Германии - у Крупна и Гейфмана) - 284 тыс. пуд. Или поступления пороха за указанные десять лет выражались суммой в 1 866 583 пуда. За это время на практическую стрельбу, войну и при сооружении дорог израсходовано 1 222 583 пуда; оставшиеся 644 тыс. пуд. [3]
Аксиома конструктивности и основные свойства конструктивных множеств введены Геделем [1939, 1940] для доказательства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворечивость ZFC ОКГ. Этот раздел основывается главным образом на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если существует измеримый кардинал а со, то все следствия теоремы 7.4.7 справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует кардинал Рамсея, то справедлив пункт ( i) теоремы 7.4.7. Используя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теорему 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейфмана, так и результат Роуботтома. Другие два основных результата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиальный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктивности. [4]
Кроме того, мы включили ряд более новых результатов, которые стимулируют современные и, по всей видимости, будущие исследования. К ним относятся теорема Кейслера - Шелаха об изоморфизме, теорема Морли о категоричности, работы Акса - Кочена и Ершова по теории полей и результаты Роуботтома, Гейфмана и Силвера о больших кардиналах и конструктивном универсуме. [5]
Аксиома конструктивности и основные свойства конструктивных множеств введены Геделем [1939, 1940] для доказательства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворечивость ZFC ОКГ. Этот раздел основывается главным образом на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если существует измеримый кардинал а со, то все следствия теоремы 7.4.7 справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует кардинал Рамсея, то справедлив пункт ( i) теоремы 7.4.7. Используя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теорему 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейфмана, так и результат Роуботтома. Другие два основных результата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиальный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктивности. [6]
Известны работы Ригера, Сикорского, Якуба и Дуингера, посвященные исследованию а-полных и полных свободных расширений булевых алгебр. В связи с результатом Гейфмана и Хейлса об отсутствии полного расширения для любой бесконечной свободной булевой алгебры возникла проблема описания булевых алгебр, имеющих полные свободные расширения. Используя упомянутый выше результат Гейфмана и Хейлса, Дей [134] доказал, что булева алгебра тогда и только тогда имеет полное свободное расширение, когда она сверхатомна. [7]
Известны работы Ригера, Сикорского, Якуба и Дуингера, посвященные исследованию а-полных и полных свободных расширений булевых алгебр. В связи с результатом Гейфмана и Хейлса об отсутствии полного расширения для любой бесконечной свободной булевой алгебры возникла проблема описания булевых алгебр, имеющих полные свободные расширения. Используя упомянутый выше результат Гейфмана и Хейлса, Дей [134] доказал, что булева алгебра тогда и только тогда имеет полное свободное расширение, когда она сверхатомна. [8]
СШЛ было приобретено необходимого для снаряжения патронов малого калибра 20 тыс. пуд. В 1877 г. Артиллерийскому ведомству было разрешено закупить в Германии - у Крупна ( Эссен) 30 тыс. пуд. Несомненно, закупали порох и в Австрии, и во Франции, а также и в Германии - у других ( кроме Крупна, Гейфмана, Гейдемана) владельцев пороховых заводов. [9]
Аксиома конструктивности и основные свойства конструктивных множеств введены Геделем [1939, 1940] для доказательства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворечивость ZFC ОКГ. Этот раздел основывается главным образом на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если существует измеримый кардинал а со, то все следствия теоремы 7.4.7 справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует кардинал Рамсея, то справедлив пункт ( i) теоремы 7.4.7. Используя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теорему 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейфмана, так и результат Роуботтома. Другие два основных результата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиальный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктивности. [10]
Улам [1930] поставил проблему, существуют ли измеримые кардиналы, и доказал, что каждый измеримый кардинал является недостижимым. Новый этап в работе с измеримыми кардиналами начался с того, что Ханф [1964] и Тарский [1962] показали, что первый недостижимый кардинал слабо компактен и, следовательно, не является измеримым. Кейслер [1962] применил конструкцию ультрапроизведения для того, чтобы дать другое доказательство неизмеримости первого недостижимого кардинала, а затем Скотт [1961] использовал ультрапроизведения, чтобы показать, что существование измеримого кардинала противоречит аксиоме конструктивности. Работы Ханфа и Скотта [1961] и Кейслера и Тарского [1964] показали, что слабо компактные кардиналы очень велики, а измеримые кардиналы - еще больше. С этих пор измеримые кардиналы и ультрапроизведения являются одной из главных тем исследования в теории множеств, особенно в работах Гейфмана, Кунена, Роуботтома, Силвера и Соловея. Некоторые из этих работ излагаются в разд. [11]