Cтраница 3
Пусть X - некоторое G-пространство; предположим, что заданы две структуры ортогонального G-расслоения на XxKN, соответствующие эквива-риантным отображениям 6 и 0 пространства X в Map ( G, е; О ( N), /), как и в предложении 11.1. Показать, что эти G-расслоения ортогонально эквивалентны над X тогда и только тогда, когда существует такое отображение ф: X - О ( / V) что В х ( g) p ( gx) Qx ( g) Ф ( хГ1 для всех х б X и g е О. [31]
Если каждая точка р G-пространства R имеет такую окрестность S ( p, 8р), 8р 0, что для любых точек а, а, Ь, Ь из S ( p, 8р), таких, что ар-а р, bp b p и ab a b, существует изометрическое отображение сферы S ( p, 8p) на себя, оставляющее на месте точку р и переводящее а в а и Ь в Ь, то универсальное накрывающее пространство для R является евклидовым, гиперболическим или сферическим. [32]
Заметим, что и сингулярное G-пространство может быть путем пополнения превращено в некоторое пространство Крсйпа. [33]
Если М - локально гладкое G-пространство и К с G - замкнутая подгруппа, то М есть локально гладкое К-пространство. [34]
Два представления ( два G-пространств а) с одним и тем же характером изоморфны. [35]
Если S - срез G-пространства Х в точке х, то естественное отображение S / 0 - X / G является гомес-морфизмом. [36]
Если прямые являются геодезическими двумерного G-пространства, в котором геодезическая, проходящая через две заданные точки, является единственной, то на каждой заданной прямой осуществляются соотношения порядка и непрерывности либо такие, как в аффинной геометрии, либо как в проективной геометрии. [37]
Сдг-пространство S эквивалентно некоторому ортогональному G-пространству. [38]
R, само является G-пространством. Таким образом, прямые и большие окружности О-простраиства являются его 1-плоскостями. Евклидовы, гиперболические и эллиптические пространства обладают тем свойством, что любые р - f - 1 точек, не лежащие в одной о-плоскости при о р, расположены в одной ( и только в одной) р-плоскости; в частности три точки, не принадлежащие одной геодезической, определяют 2-илоскость. [39]
Замкнутый конус СУ над G-пространством Y является G-npo - странством и определяется как факторпространство [0, 1] хК / 0 х xF, где G действует на [ О, 1 ] тривиально. Образ точки ( t, у) будет обозначаться через ty и вместо Ог / мы будем писать просто 0; это вершина конуса. [40]
Семейство / многообразий в данном G-пространстве X представляет собой канонически определенный набор отмеченных инвариантных подпространств этого пространства. [41]
Разрыв между достаточными условиями для G-пространства, указанными в § 15, и необходимыми условиями весьма велик. Представляется сомнительным, можно ли существенно уменьшить его классическими методами. Методы Буземана и Мейера [1] могут оказаться полезными, хотя эта работа касается не свойства единственности, по свойств дифферен-цируемости. [42]
F-многооб-разий в случае, когда G-пространство Х есть когомологическое многообразие. [43]
Для фиксированной группы G класс G-пространств является классом объектов некоторой категории, морфизмы которой называются эквивариантными отображениями. Эквивариантное отображение ф: X - Y, являющееся также гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств. [44]
Поэтому категории левых G-пространств и правых G-пространств эквивалентны. [45]