Cтраница 1
Геометрия прямых линий в Е2 - это классическая эвклидова геометрия, а геометрии геодезических на сфере 52 и на гиперболической плоскости Я2 - это менее классические неэвклидовы геометрии. [1]
Проследим еще далее соотношение между геометрией прямых линий и высшей геометрией сфер. [2]
Этим мы описали то, что было обещано в начале этого параграфа: геометрия прямых линий входит в ряд тех геометрий, в основу которых положены шесть однородных координат, связанных уравнением второй степени; при этом рассматриваются все те линейные преобразования шести координат, которые переводят само в себя уравнение второй степени. [3]
В заключение можно еще отметить, что учение о квадратичных диференциальных выражениях находит своеобразное геометрическое применение в исследованиях Кенигса по геометрии прямых линий. [4]
Познакомимся далее с тем, каким образом Ли элементарно-геометрическим способом убедился в том, что соотношение между высшей геометрией сфер и геометрией прямых линий является преобразованием прикосновения. Правда этот способ Ли несколько запутан, но зато представляет то преимущество, что на этом пути ясно видно, как геометрия сфер Ли может быть построена на основе элементарной геометрии. [5]
Часто заявляется, что Descartes свел геометрию на алгебру; но это, собственно, несколько неточно. То, что осуществил Descartes, это-сведение, при помощи метода координат, всякой геометрии к геометрии прямой линии, каковая, употребляя понятие непрерывности и иррационального числа, дозволила алгебре достигнуть широкого ее применения. Но чтобы эта редукция всяких геометрий к прямой была окончена, необходимо было исключить известное число самых основных для геометрии величин, среди которых важнейшими являлись длина кривой, площадь, объем. [6]
В этих фактах мы имеем основы, на которых строится большинство новых изложений теории повгрхностей. С этой исходной точкой быть может связано то, что в большинстве этих книг на идеи Ли, которые мы здесь развиваем в первую очередь, обращается мало внимания; мы имеем в виду такие вещи, как отношение между геометрией прямых линий и геометрией сфер, общую теорию преобразований прикосновения, яе говоря уже о теории групп преобразований. [7]
В этот ряд соответствующих друг другу рассмотрений входит, как мы опять подчеркнем, только для я 3 гесметрия прямых линий. Основывается ато на том, что прямые линии в пространстве мы определяем шестью координатами, между которыми существует квадратичное уравнение второй степени Я 0, определяющее все дальнейшее. При этом особенно приятно то что в геометрии прямых линий линейные многообразия, рассматриваемые на многообразии квадратичного уравнения Р s О в пространстве пяти измерений, все являются действительными. [8]
Наряду с идеями Римана Плюккер выдвинул ту идею, что элементами пространства не обязательно должны быть точки ( 1865 г.), так что геометрия прямых линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал Клейн, как геометрия четырехмерной поверхности второго порядка в пятимерпом пространстве. [9]
Новый толчок в этой области исходит от итальянского математика Фубини ( род. Здесь также всегда возникает опасность, что геометрические задачи совершенно закроются лесом формул и таким образом следует приветствовать новейшие итальянские исследования, как, например, исследования Бомпиани ( род. Риме, 1889), рассматривающие, как главное, геометрическую наглядность. Томсен построил проективную теорию поверхностей, исходя из геометрии прямых линий ( О. [10]
К этим рассмотрениям мы добавим еще некоторые литературные сведения. Но эти рассмотрения связываются с двумя дальнейшими вопросами, которые мы впоследствии изложим в этих лекциях в связи с геометрией сфер, - именно, с геометрией, прямых линий и теорией диференциальных уравнений с частными производными. Затем следует упомянуть работы Клейна в том же самом томе Math. В частности Клейн подробно изучал значение ортогональной системы в J. Затем к этим работам примыкают еще две заметки Ли, которые были опубликованы только в Gottinger Nachrichten ( 1871, стр. Здесь геометрия прямых линий, рассмотрение которой первоначально стояло на переднем плане, но которая существует только для / г3, теперь совершенно отступает. Спрашивается, наконец, почему существование этих исключительно богатых мыслями работ Ли не дало до сих пор желаемых последствий; основание к этому можно видеть только в том, что в ьих рассматриваются наряду друг с другом такие разнородные вещи, как геометрия прямых линий, геометрия сфер, диференциальные уравнения. [11]
К этим рассмотрениям мы добавим еще некоторые литературные сведения. Но эти рассмотрения связываются с двумя дальнейшими вопросами, которые мы впоследствии изложим в этих лекциях в связи с геометрией сфер, - именно, с геометрией, прямых линий и теорией диференциальных уравнений с частными производными. Затем следует упомянуть работы Клейна в том же самом томе Math. В частности Клейн подробно изучал значение ортогональной системы в J. Затем к этим работам примыкают еще две заметки Ли, которые были опубликованы только в Gottinger Nachrichten ( 1871, стр. Здесь геометрия прямых линий, рассмотрение которой первоначально стояло на переднем плане, но которая существует только для / г3, теперь совершенно отступает. Спрашивается, наконец, почему существование этих исключительно богатых мыслями работ Ли не дало до сих пор желаемых последствий; основание к этому можно видеть только в том, что в ьих рассматриваются наряду друг с другом такие разнородные вещи, как геометрия прямых линий, геометрия сфер, диференциальные уравнения. [12]