Cтраница 1
Геометрия прямых в пространстве значительно интереснее и сложнее геометрии плоскостей в пространстве и геометрии прямых на плоскости. Мы не имеем здесь возможности заняться этой геометрией сколько-нибудь подробно и потому ограничимся лишь тем, что объясним, почему эта геометрия более сложна. [1]
Этим геометрия прямых принципиально отличается от геометрии точек. [2]
Можно строить геометрию прямых, геометрию кругов, шаров; но можно итти гораздо дальше, можно строить геометрию множества цветов, геометрию роя корпускул, материальных частиц. [3]
В этом смысле геометрия прямых на проективной плоскости полностью эквивалентна геометрии точек. [4]
Это показывает, что геометрия комплексной прямой ( рассматриваемая как геометрия плоскости) богаче аффинной геометрии плоскости. [5]
Мы скажем только несколько слов о геометрии прямых а геометрии Галилея. [6]
Наиболее простой из этих неточечных геометрий является геометрия прямых на плоскости. [7]
Геометрия плоскостей в пространстве во многом аналогична геометрии прямых на плоскости. [8]
Геометрия прямых в пространстве значительно интереснее и сложнее геометрии плоскостей в пространстве и геометрии прямых на плоскости. Мы не имеем здесь возможности заняться этой геометрией сколько-нибудь подробно и потому ограничимся лишь тем, что объясним, почему эта геометрия более сложна. [9]
Необходимо, следовательно, чтобы существовали две прямые, пересекающие одновременно все пять заданных прямых, или, на языке геометрии прямых, заданные пять прямых должны принадлежать линейной конгруенции. Рассуждениями, совпадающими с предыдущими ( случай параболоида), можно показать, что это условие является достаточным. [10]
Она была введена Кэли ( Cayley) в I860 г. и впоследствии применялась Плкжером ( Plucker) в его исследованиях по геометрии прямых. [11]
Говорят, что преобразование Ли переводит прямые в сферы. В этой форме важность этого преобразования очевидна: оно сводит геометрию сфер к геометрии прямых, и наоборот. Оно преобразует линейчатую поверхность в огибающую семейства сфер, две пересекающиеся прямые в две касательные сферы, так как такие прямые имеют общий элемент касания, состоящий из общей точки двух прямых и плоскости, их содержащей. Оно переводит, следовательно, развертывающуюся поверхность Д в огибающую семейства сфер, таких, что каждая из них касается бесконечно близкой сферы. [12]
За пределы этой новой геометрии, в которой все же основную роль играют неограниченная прямая и неограниченная плоскость как элементы пространства, выходит начатое в 1844 г. Грассманом развитие идей, ставящее на первое место ограниченные линейный, плоскостной и пространственный элементы и приписывающее им компоненты, следуя принципу определителей; об этом мы уже говорили подробно. Эти идеи прекрасны тем, что здесь мы идем навстречу потребностям механики и физики несравненно более плодотворным образом, чем это достигается, например, геометрией прямой или принципом двойственности. [13]
Соотношение Плюккера является соотношением второй степени. Это означает, что прямые представляют собой точки пятимерного пространства, принадлежащие некоторой четырехмерной гиперповерхности второго порядка. Это вторая - и главная - причина сложности геометрии прямых. [14]