Cтраница 1
Греческая геометрия исходит из некоторых основных предположений, называемых аксиомами или постулатами; эти предположения рассматриваются как простейшие бесспорные законы логики и геометрии. Некоторые из них имеют в основном формально-логический характер, вроде аксиомы о том, что две величины, равные одной и той же третьей величине, должны быть равны между собой. [1]
До овладения-же направлением в духом греческой геометрии им было еще далеко. Несколько ранее арабов начала готовиться к продолжению умственнаго развития человечества Западная Европа. Начав позже Западной Европы, они сделались, как мы сейчас увидим, ея учителями. Период усвоения Западною Европою знаний, приобретенных человечеством, представляет две ясно различимый фазы. [2]
При этом в качестве суммарного изложения греческой геометрии всегда рассматривался самый значительный дошедший до нас систематический курс - знаменитые Начала, или Элементы ( atoixeiab Евклида; вряд ли существует другая книга, которая так долго удерживала бы подобное положение в своей науке. И теперь еще всякий математик должен считаться с Евклидом, и мы посвятим поэтому ему последний раздел этой главы. [3]
Его Собрание ( Synagoge) - нечто вроде учебника для изучающих греческую геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств. Скорее всего, трактат надо было читать вместе с оригинальными трудами, а не самостоятельно. [4]
Идея, будто мы можем получать знание a priori, имеет свои корни в историческом факте устойчивости греческой геометрии, которая была заменена более общей теорией только в наше время. Действительное основание долговечности греческой геометрии лежит в точности, с какой она описывает поведение тел в нашем земном окружении. [5]
В противоположность этому история геометрии как самостоятельной дисциплины восходит далеко в глубь греческой древности, а именно, геометрия уже в то время достигла столь высокого уровня развития, что долгое время, вплоть до наших дней, в греческой геометрии видели образец совершенной науки. [6]
Идея, будто мы можем получать знание a priori, имеет свои корни в историческом факте устойчивости греческой геометрии, которая была заменена более общей теорией только в наше время. Действительное основание долговечности греческой геометрии лежит в точности, с какой она описывает поведение тел в нашем земном окружении. [7]
Для этого периода как греческой, так и восточной истории характерны рост богатства одних классов и обнищание других. Физический труд становится уделом только рабов и ремесленников, аристократия же искала успокоения от забот в занятиях философией и этикой индивидуума. Высокой степени логического совершенства достигла и греческая геометрия, при построении которой впервые был применен аксиоматический метод. [8]
Началом развития метода являются первыя попытки раскрытия отношений, существующих между простейшею криволинейною фигурою, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноименных многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных кругов, сама собою должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в безнонечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и Оезпре-дельное приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью ея прав в принятии основанием всех наследований разсматриваемаго рода такого вспомогательнаго предложения, с помощью котораго требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в Элементах Эвклида является следующее: Если даны две неравный величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной мало величины ( книга X, предл. Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним с следующим за ним, то строгия требования греческой геометрии являются удовлетворенными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющаго одинаковыя с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что трехугольныя пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров. С гораздо большею строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему: если две линии, две поверхности или два объема неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода. Пользуясь этой теоремой, Архимед дает, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий прием, заключающийся как в этих двух, невидимому очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. [9]
Сделавшееся путем этих переводов доступным Западной Европе содержание классических произведений греческих геометров усвоивалось ея математиками очень медленно; в глубь же методов они совсем не могли проникнуть, так что поневоле должны были ограничиваться только крайне поверхностным знакомством с ними. Некоторые проблески самостоятельной мысли в духе греческой геометрии замечаются, в разсматриваемую эпоху, только у двух знаменитых художников, бывших в то-нсе время и геометрами, у Леонардо да Винчи и у Альбрехта Дюрера. [10]
Этот конфликт берет свое начало у древних греков. Платон говорил, что реальный мир состоит из этих форм. Демиург, меньшее существо, чем Благо, был обречен создавать низшие копии реального мира. Эти копии были грубы, асимметричны и подвержены распаду. Таким образом, Платон использовал неспособность греческой геометрии, позже формализованной Евклидом, для описания нашего мира. [11]