Cтраница 4
Последующее стремительное развитие математики вызвало к жизни теорию ортогональных разложений, которая была хорошо известна уже в восемнадцатом веке. В последние сорок лет оно было продолжено в трудах Гельфанда, Крейна и Наймарка в Советском Союзе, Какутани, Като, Куроды и Иосиды в Японии ( и в Соединенных Штатах), группы Бурбаки во Франции, Коложоары и Фойаша в Румынии, Хилле и Филлипса, Фридрихса, фон Неймана, Пэли) и Винера в США. [46]
Хамон [193-195] изучил данные наблюдений над уровнем моря на берегах Австралии и пришел к выводу, что мелководье реагирует на низкочастотные колебания атмосферного давления не по правилу обратного барометра. Опираясь на данные последовательно расположенных самописцев уровня моря, он показал, что существуют волны, бегущие к северу вдоль восточного берега Австралии и к югу вдоль западного. Муре и Смит [438] проделали спектральный анализ данных об уровне и атмосферном давлении вдоль побережья штата Орегона ( США) и также обнаружили свободные шельфовые волны, распространяющиеся к северу. Мизак и Хамон [468] показали, что такие же волны, бегущие к югу, могут существовать на восточном побережье США. Шойи [576, 577] наблюдал подобные волны у берегов Японии, а Иосида [715] предположил, что они могут быть поверхностным проявлением внутренних волн Кельвина. [47]
Колмогоров в своей фундаментальной работе ( 1931) строго ввел понятие марковской зависимости в непрерывной схеме и показал, что при различных ограничениях ( в первую очередь при ограничениях на условные моменты типа условий Линдеберга для нормальной сходимости или ограничениях типа непрерывности PlXuh-Xt ] - при / г - 0) переходные вероятности удовлетворяют определенным дифференциальным или интегро-дифферен-циальным уравнениям. Главным в этих исследованиях оказываются поиски локальных характеристик. В первой серии ( 1936, 1940) он продолжал исследования Колмогорова о локальных характеристиках переходных вероятностей, изучая условия, при которых действительно существуют переходные вероятности, обладающие теми или иными локальными характеристиками. Затем ( 1952 и далее) он использовал и развил теорию полугрупп ( созданную Хиллом и Иосида, которые сразу же применили ее к изучению эволюции марковских процессов во времени); эта его работа лежит в основе новейших исследований марковских процессов. [48]
В большинстве случаев, когда рассматривается конкретное векторное пространство X, в нем уже имеется некоторая естественная сходимость, которая определяет топологию в X, причем эта топология и алгебраические операции разумным образом согласованы. X является нормированным пространством. Мы, однако, рассмотрим сначала более общий случай топологических векторных пространств. Это мотивируется, с одной стороны, тем, что многие вопросы нормированных пространств естественно решаются уже на этой степени общности, а с другой стороны, тем, что исследование собственно нормированных пространств требует привлечения так называемой слабой топологии, которая в бесконечномерном случае ненормируема. По поводу подробного изложения, теории топологических векторных пространств см. Бурбаки - III; Данфорд и Шварц - I; Иосида; А. [49]
Настоящая книга посвящена теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Начало этой теории положено работами Хилле и Иосида ( 1948), в которых были получены первые теоремы существования решений задачи Коим для уравнения х Ах с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. Иосида, а позднее Феллер, связали эти исследования полугрупп с различными задачами для уравнения диффузии. Параллельно с этим Хилле, а затем Филлипс, начинают строить теорию абстрактной задачи Коши для уравнений в банаховом пространстве. Линце применяют полугрупповые методы К игеМ Лананпк) различных классов параболических уравнений. В указанных работах Хилле, Иосида, Филлипса и Кото были заложены, основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторами, которая после этого становится самостоятельной областью исследования, привлекающей внимание многих математиков. [50]