Cтраница 1
Гиперповерхность уровня описывается п - 1 параметрами ( на п параметров в Rn наложена одна связь: уравнение f ( x) с const), поэтому размерность гиперповерхности / с равна п - 1, если / с - гладкое многообразие. [1]
Размерность гиперповерхности уровня функции / с равна п - 1, если / с - гладкое многообразие. [2]
Более удобный для работы подход заключается в рассмотрении гиперповерхностей уровня оптической функции и и изучении слоения на Е со слоями - поверхностями 5t u определенными двумя функциями t и и. Это слоение заменяет евклидовы сферы, которые были орбитами действия группы 5Оз в пространстве Минковского. [3]
В смысле сказанного выше, в окрестности точки Х гиперповерхность уровня с точностью до величин высшего порядка малости совпадает с касательной гиперплоскостью. [4]
Следует ли закон уменьшения предельных норм замены из выпуклости гиперповерхностей уровня к началу координат. [5]
В случае п 2 множество уровня называется также линией уровня, в случае п 3 -поверхностью уровня, а при п3 - гиперповерхностью уровня. [6]
Так как направление и величина grad / указывают направление и скорость роста функции /, то функция / всегда растет с максимальной скоростью по нормали к гиперповерхности уровня. [7]
Гиперповерхности уровня функции полезности называются кривыми, безразличия, а семейство всех кривых безразличия-картой безразличия. [8]
Общие свойства функции полезности одного класса определяются их картами безразличия. Функцию полезности, для которой гиперповерхности уровня выпуклы к началу координат, назовем К. [9]
Функцию полезности назовем К-линейной, если ее гиперповерхности уровня представляют собой гиперплоскости. [10]
Для любых двух точек р, р одной связной компоненты гиперповерхности уровня функции HQ в пространстве переменных действие существуют орбиты, соединяющие произвольно малую окрестность тора р - р с произвольно малой окрестностью тора р - р, если е 0 достаточно мало и Н общего положения. [11]
Если функция Гамильтона постоянна на изотропном подмногообразии, то его сдвиги потоком этой функции заметают изотропное подмногообразие. Коизотропное подмногообразие на поверхности уровня функции Гамильтона инвариантно относительно ее потока. Эти утверждения вытекают из того, что одномерное ядро ограничения симплектической формы на гиперповерхность уровня функции Гамильтона совпадает с направлением вектора гамильтонова поля. Свойства такого рода будут часто использоваться в дальнейшем без специальных оговорок. [12]
Апология теории КАМ с этой точки зрения содержится, например, в [15], Section 2.7 ( ср. Одним из важнейших выводов теории КАМ является то, что в фазовом пространстве гамильтоновой системы общего вида с п степенями свободы могут встречаться канторовы семейства инвариантных торов разных размерностей 2 га п, причем 2га - мернал мера Хаусдорфа ( мера Лебега при га п) объединения этих торов положительна. Для существования таких семейств торов не нужно никакой интегрируемости, никаких специальных симметрии, никаких условий типа равенства. Грубо говоря, наличие семейств инвариантных торов с квазипериодическим потоком на них - это свойство коразмерности нуль ( и, в частности, гипотеза об эргодичности общей гамильтоновой системы на гиперповерхностях уровня энергии, широко распространенная в физической литературе вплоть до 60 - х гг., неверна, ср. Такое утверждение принципиально невозможно доказать никаким компьютерным счетом. Конечно, часто легко выявить инвариантные торы в данной системе численно, но при этом нельзя гарантировать, что найденные инвариантные многообразия - не артефакты, что, например, переменные действие, отвечающие начальной точке на таком торе, действительно сохраняются вечно, а не просто очень-очень долго. [13]