Cтраница 1
Многогранные гиперповерхности F ограничены в совокупности. Действительно, опишем сферу SR большого радиуса R с центром в точке О. [1]
Тогда существует замкнутая выпуклая многогранная гиперповерхность F, содержащая точку О внутри, такая, что ее вершины проектируются на единичную сферу S в точки At и условные кривизны в этик вершинах равны заданным числам рц. [2]
Из множества многогранных гиперповерхностей F B при б, е - 0 можно выделить последовательность Fn, сходящуюся для любой области G, замыкание которой содержится в G. Пусть F - выпуклая гиперповерхность, являющаяся пределом этой последовательности. Утверждается, что условная кривизна гиперповерхности F на любом борелевском множестве т равна значению заданной функции [ А на проекции т этого множества. [3]
Допустим, существуют две выпуклые многогранные гиперповерхности F и F с общим краем, одними и теми же проекциями вершин на гиперплоскость 2 0 и одинаковыми условными кривизнами в соответствующих вершинах. [4]
Так как при 5 - 0 многогранные гиперповерхности F ограничены в совокупности, то из них можно выделить сходящуюся последовательность. Предельная выпуклая гиперповерхность Ф для этой последовательности содержит точку О внутри, и ее условная кривизна на любом боре-левском множестве равна значению функции [ д, на проекции этого множества. [5]
Гиперповерхность, ограничивающая многогранник, называется многогранной гиперповерхностью. Гладкими точками выпуклой многогранной гиперповерхности являются внутренние точки граней и только они. Точки строгой выпуклости многогранника называются вершинами. Вершины многогранника являются коническими точками. Каждая вершина многогранника является точкой пересечения гиперплоскостей, ограничивающих многогранник. [6]
Гиперповерхность, ограничивающая многогранник, называется многогранной гиперповерхностью. Гладкими точками выпуклой многогранной гиперповерхности являются внутренние точки граней и только они. Точки строгой выпуклости многогранника называются вершинами. Вершины многогранника являются коническими точками. Каждая вершина многогранника является точкой пересечения гиперплоскостей, ограничивающих многогранник. [7]
Выпуклый конус, являющийся пересечением конечного числа полупространств, называется многогранным углом. Касательный конус выпуклой многогранной гиперповерхности в каждой точке является многогранным углом. [8]
Допустим, утверждение теоремы неверно. Тогда существуют две замкнутые выпуклые многогранные гиперповерхности F и F с вершинами A t и A t, причем вершины А и А [ имеют одну и ту же проекцию на единичную сферу с центром О и условные кривизны в этих вершинах равны. [9]
Пусть G - выпуклый многогранник в координатной гиперплоскости z 0 и At - его верпщны. Эта область представляет собой выпуклую многогранную гиперповерхность. Обозначим Г край этой гиперповерхности. [10]
Пусть h ( x) - любая непрерывная функция, заданная на границе области G. Область FQ является многогранной гиперповерхностью. [11]
Гиперповерхности F & f г ограничены в совокупности в том смысле, что при достаточно большом N все они расположены в полупространстве z - N. Доказательство этого утверждения является буквальным повторением соответствующего рассуждения для многогранных гиперповерхностей из Q в доказательстве теоремы 2.1. Поэтому мы его опустим. [12]
В -, и условные кривизны в этих вершинах не превосходят заданных чисел рц. Множество Q не пусто. У этой многогранной гиперповерхности вообще нет вершин. Многогранные гиперповерхности из Q равномерно ограничены в том смысле, что при достаточно большом N все они расположены в полупространстве z - N. [13]
О является внутренней точкой выпуклого тела, ограниченного гиперповерхностью F. При каких условиях для заданной на сфере S вполне аддитивной функции л существует замкнутая выпуклая гиперповерхность F, которая на произвольном борелевском множестве точек гиперповерхности имеет условную кривизну, равную значению функции [ л на проекции этого множества. Эту задачу мы решим сначала для выпуклых многогранных гиперповерхностей. [14]
В -, и условные кривизны в этих вершинах не превосходят заданных чисел рц. Множество Q не пусто. У этой многогранной гиперповерхности вообще нет вершин. Многогранные гиперповерхности из Q равномерно ограничены в том смысле, что при достаточно большом N все они расположены в полупространстве z - N. [15]