Cтраница 1
Гипотеза эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю реализаций усреднением по времени и требует принятия допущения о стационарности данных до момента четвертого порядка. При этом для оценок моментов используют записанные выше формулы, применяя в них осреднение по времени. Зависимость взаимной ковариации ( автоковариации) от т называют взаимно ковариационной ( автоковариационной) функцией. Для указанных функций могут быть применены выражения для несмещенных и смещенных оценок. Однако на практике предпочтение часто отдают смещенной оценке, дисперсия которой, особенно при больших т, всегда оказывается меньше дисперсии несмещенной оценки. [1]
Гипотеза эргодичности Больцмана ( временные средние равны пространственным средним) на современном языке ( Биркгоф, Купман [ В-К ]) означает, что для ( почти) всех собственных гамильтонианов Н на симплектическом многообразии ( М, и) и для ( почти) всех значений энергии поле Хц является эргодическим на каждой компоненте связности уровня энергии. Теоремы К AM показали несостоятельность этой гипотезы: для некоторого открытого множества гамильтонианов Н существует открытое множество значений энергии, такое, что на каждом из соответствующих поверхностей уровней энергии имеется множество инвариантных лагранжевых диофантовых торов положительной меры. [2]
Гипотезу эргодичности трудно проверить формальными методами, и для ее использования должны существовать какие-нибудь здравые интуитивные основания. [3]
Любая количественная обработка данных наблюдений за стоком основывается на гипотезе эргодичности, принимаемой в явной или завуалированной форме. Отказаться от этой гипотезы - значит рассматривать сток как нестационарный случайный процесс общего вида. Поскольку гидрологические наблюдения дают только одну единственную реализацию исследуемого процесса, то нельзя определить средние по реализациям, а средние по времени в случае нестационарного процесса теряют смысл. Между тем существуют реки ( например, Ангара), процесс стока которых явно не подчиняется гипотезе эргодичности, что можно обнаружить даже беглым взглядом на гидрограф. Применение к таким рекам методов статистической обработки, построенных на эргодиче-ской гипотезе, должно неизбежно привести к ошибочным выводам; правильные результаты в таких случаях не могут быть получены без привлечения генетического анализа. [4]
Наконец, для аппаратов класса D методика исследования наиболее сложна: аналитическое исследование нестационарных случайных процессов чрезвычайно затруднительно, так как весьма редко можно аналитически получить характеристики такого процесса для конкретных случаев, к тому же сам математический аппарат вынуждает использовать расчеты на ЦВМ только после ряда упрощений; эксперименты необходимо проводить и обрабатывать с учетом невыполнения гипотезы эргодичности, что делает их более сложными и обширными. [5]
В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упругости и тензора, описывающего флюктуаци-онные добавки. Как правило, принимается гипотеза эргодичности: среднее по объему совпадает со средним статистическим. [6]
Такое допущение позволяет использовать при расчетах хорошо разработанную теорию стационарных случайных процессов. Для ряда стационарных случайных процессов справедлива гипотеза эргодичности, согласно которой статистические характеристики, полученные усреднением по множеству, совпадают с усредненными по времени характеристиками. Случайный процесс может быть эргодическим по ограниченному числу статистических характеристик. При расчетах систем автоматического регулирования и управления обычно принимают, что условия эргодичности выполняются для математического ожидания и корреляционной функции. [7]
Довольно интересно исследование длительной эволюции консервативных систем, обсуждаемое в гл. Оно касается таких вопросов, как: устойчива ли Солнечная система, как избежать нерегулярности движения в ускорителях частиц, достаточно ли силен самопроизвольный детерминированный хаос в некоторых гамильто-новых системах для доказательства гипотезы эргодичности. Гипотеза эргодичности положена в основу классической статистической механики и заключается в том, что траектория равномерно заполняет энергетически разрешенные области фазового пространства, так что средние по времени величины можно заменить усредненными по соответствующему фазовому пространству. [8]
Довольно интересно исследование длительной эволюции консервативных систем, обсуждаемое в гл. Оно касается таких вопросов, как: устойчива ли Солнечная система, как избежать нерегулярности движения в ускорителях частиц, достаточно ли силен самопроизвольный детерминированный хаос в некоторых гамильто-новых системах для доказательства гипотезы эргодичности. Гипотеза эргодичности положена в основу классической статистической механики и заключается в том, что траектория равномерно заполняет энергетически разрешенные области фазового пространства, так что средние по времени величины можно заменить усредненными по соответствующему фазовому пространству. [9]
Построение вероятностных моделей Если вероятностная модель прииии, ется, то по статистическим характеристикам оценивают основные вероятностны характеристики. Когда принимают простейшую модель стационарного гауссовеког случайного процесса, все вероятностные характеристики можно выразить мере среднее значение и спектральную плотность. Однако следует иметь в виду, что в те нических приложениях гипотезы эргодичности и стационарности могут быть спрй ведливыми лишь приближенно. [10]
Построение вероятностных моделей Если вероятностная модель прииии, ется, то по статистическим характеристикам оценивают основные вероятностны характеристики. Когда принимают простейшую модель стационарного гауссовеког случайного процесса, все вероятностные характеристики можно выразить мере среднее значение и спектральную плотность. Однако следует иметь в виду, что в те нических приложениях гипотезы эргодичности и стационарности могут быть спрй ведливыми лишь приближенно. [11]
Одним из самых распространенных методов определения эффективных характеристик среды является метод теории случайных функций. В качестве модели, адекватной широкому классу композиционных материалов, является представление материальных тензоров как случайных макрооднородных полей. В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упругости и тензора, описывающего флуктуационные добавки. Принимается гипотеза эргодичности: среднее по объему совпадает со средним статистическим. [12]
Любая количественная обработка данных наблюдений за стоком основывается на гипотезе эргодичности, принимаемой в явной или завуалированной форме. Отказаться от этой гипотезы - значит рассматривать сток как нестационарный случайный процесс общего вида. Поскольку гидрологические наблюдения дают только одну единственную реализацию исследуемого процесса, то нельзя определить средние по реализациям, а средние по времени в случае нестационарного процесса теряют смысл. Между тем существуют реки ( например, Ангара), процесс стока которых явно не подчиняется гипотезе эргодичности, что можно обнаружить даже беглым взглядом на гидрограф. Применение к таким рекам методов статистической обработки, построенных на эргодиче-ской гипотезе, должно неизбежно привести к ошибочным выводам; правильные результаты в таких случаях не могут быть получены без привлечения генетического анализа. [13]
Она осуществляется посредством большого числа микросостояний. Если известны признаки, которыми характеризуется данное макросостояние, то можно, в принципе, перечислить все микросостояния, совместимые с этими признаками, и подсчитать их число. Обозначим Г число микросостояний, где индекс ос характеризует макросостояние. Можно, конечно, признак макросостояния, к которому относится Г, отличать в виде аргумента у Г, например Г ( а), или каким-либо другим наиболее удобным в конкретных условиях способом. Обозначим Г0 общее число состояний, достижимых для системы в соответствии с гипотезой эргодичности. [14]